어떤 문제인가
이 문제는 주어진 4차방정식이 서로 다른 4개의 실근을 갖도록 하는 자연수 $k$의 개수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 2가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 방정식의 실근과 함수의 그래프: 방정식 $f(x) = g(x)$의 실근의 개수는 두 함수 $y = f(x)$와 $y = g(x)$의 그래프가 만나는 교점의 개수와 같습니다.
- 도함수를 이용한 그래프 그리기: 4차함수의 미분을 통해 극댓값과 극솟값을 구하고, 이를 바탕으로 그래프의 개형을 정확히 그려낼 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 방정식을 함수와 직선의 관계로 변형하기
방정식에 상수 $k$가 포함되어 있으면 그래프를 그리기 까다롭습니다. 따라서 $k$를 우변으로 이항하여 식을 정리해 봅시다.
$$3x^4 - 4x^3 - 12x^2 = -k$$
이제 이 방정식을 다음 두 함수의 교점을 찾는 문제로 바꾸어 생각할 수 있습니다.
- 곡선: $y = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$
- 가로 직선: $y = -k$
이 두 그래프가 서로 다른 4개의 점에서 만나도록 하는 $k$의 범위를 구하면 됩니다.
2단계: 곡선 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ 미분하기
곡선의 모양을 정확히 알기 위해 함수 $f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$를 미분하여 극값이 어디서 생기는지 찾아봅시다.
$$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x$$
인수분해를 하기 위해 공통인수 $12x$로 묶어줍니다.
$$f'(x) = 12x(x^2 - x - 2)$$
$$f'(x) = 12x(x-2)(x+1)$$
도함수 $f'(x) = 0$이 되는 $x$의 값은 다음과 같이 3개입니다.
$$x = -1, \quad x = 0, \quad x = 2$$
3단계: 극값 계산하고 그래프 개형 이해하기
이제 $x = -1, 0, 2$에서의 함숫값(극값)을 각각 구해봅시다.
- **$x = -1$ 일 때 (극솟값):**
$$f(-1) = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = 3 + 4 - 12 = -5$$
- **$x = 0$ 일 때 (극댓값):**
$$f(0) = 3(0)^4 - 4(0)^3 - 12(0)^2 = 0$$
- **$x = 2$ 일 때 (극솟값):**
$$f(2) = 3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 = 3(16) - 4(8) - 12(4) = 48 - 32 - 48 = -32$$
이 정보를 바탕으로 $y = f(x)$의 그래프를 상상해 보면:
- $x = -1$에서 극소점 $(-1, -5)$를 가집니다.
- $x = 0$에서 극대점 $(0, 0)$을 가집니다.
- $x = 2$에서 더 깊은 극소점 $(2, -32)$를 가집니다.
4단계: 교점이 4개가 되는 조건 찾기
가로 직선 $y = -k$를 위아래로 움직여 보면서 곡선 $y = f(x)$와 4개의 점에서 만나는 구간을 찾아봅시다.
- 직선 $y = -k$가 극댓값인 $0$보다 위로 가면 ($-k > 0$), 교점은 2개입니다.
- 직선 $y = -k$가 극댓값인 $0$과 같으면 ($-k = 0$), 교점은 3개입니다.
- 직선 $y = -k$가 **두 극솟값 중 높은 쪽인 $-5$와 극댓값 $0$ 사이에 있으면 ($-5 < -k < 0$), 교점은 정확히 4개**가 됩니다.
- 직선 $y = -k$가 $-5$와 같으면 ($-k = -5$), 교점은 3개입니다.
- 직선 $y = -k$가 $-5$보다 아래로 내려가면 교점은 2개 이하가 됩니다.
따라서 서로 다른 4개의 실근을 갖기 위한 조건은 다음과 같습니다.
$$-5 < -k < 0$$
이 부등식의 각 변에 $-1$을 곱하면 부등호 방향이 바뀌므로,
$$0 < k < 5$$
가 됩니다.
5단계: 자연수 $k$의 개수 구하기
범위 $0 < k < 5$를 만족하는 자연수 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = 1, 2, 3, 4$$
따라서 조건을 만족하는 자연수 $k$의 개수는 총 4개입니다.
답
$$4$$
확인해보기
만약 원래 문제에서 방정식이 "서로 다른 2개의 실근"만을 갖도록 하는 자연수 $k$의 최솟값을 구하라고 했다면, 그 값은 얼마가 될까요? 그래프를 다시 한번 떠올리며 스스로 생각해보세요!