어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x) = 2x^2 + 5$에서 특정 극한값의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 미분계수의 정의: 극한 식 $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$가 의미하는 것이 바로 $x=a$에서의 미분계수 $f'(a)$라는 점입니다.
- 다항함수의 미분법: $f(x) = x^n$일 때, 도함수는 $f'(x) = n x^{n-1}$이 된다는 공식입니다.
- 극한의 기본 계산 (인수분해): 미분을 배우기 전이라면, 분자를 인수분해하여 약분하는 방식으로도 풀 수 있습니다.
이 두 가지 방법(직접 대입하여 극한 구하기, 미분계수 공식 이용하기)을 모두 알아두면 수학 실력이 부쩍 늘 거예요! 두 방법 모두 차근차근 설명해 줄게요.
단계별 풀이
방법 1: 미분계수의 정의와 미분법 공식 이용하기 (가장 빠르고 세련된 방법)
1단계: 주어진 극한 식의 의미 파악하기
우리가 구해야 하는 식은 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$$
이 식은 미분계수의 정의에 의해 함수 $f(x)$의 $x=2$에서의 미분계수, 즉 $f'(2)$를 뜻합니다.
$$\lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = f'(2)$$
**2단계: 함수 $f(x)$ 미분하기 (도함수 구하기)**
함수 $f(x) = 2x^2 + 5$를 미분법 공식을 이용해 미분해 봅시다.
- $2x^2$을 미분하면 $2 \times 2x = 4x$가 됩니다.
- 상수항 $5$를 미분하면 $0$이 됩니다.
따라서 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 4x$$
**3단계: $x=2$ 대입하기**
우리가 구하고자 하는 값은 $f'(2)$이므로, 구한 도함수에 $x=2$를 대입합니다.
$$f'(2) = 4 \times 2 = 8$$
방법 2: 직접 식을 대입하여 극한값 계산하기 (기본 원리를 다지는 방법)
**1단계: $f(2)$의 값 구하기**
함수 $f(x) = 2x^2 + 5$에 $x=2$를 대입하여 $f(2)$의 값을 구합니다.
$$f(2) = 2 \times (2)^2 + 5 = 2 \times 4 + 5 = 13$$
**2단계: 극한 식에 $f(x)$와 $f(2)$ 대입하기**
원래 식에 함수식과 방금 구한 값을 그대로 넣어줍니다.
$$\lim_{x \to 2} \frac{(2x^2+5) - 13}{x-2}$$
분자를 정리하면 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - 8}{x-2}$$
3단계: 분자 인수분해하고 약분하기
$x \to 2$일 때 분모가 $0$이 되므로, 분자에서 $(x-2)$라는 인수를 찾아내어 약분해야 합니다. 분자를 $2$로 묶고 합차공식을 써서 인수분해 해볼까요?
$$2x^2 - 8 = 2(x^2 - 4) = 2(x-2)(x+2)$$
이제 식에 다시 대입합니다.
$$\lim_{x \to 2} \frac{2(x-2)(x+2)}{x-2}$$
분모와 분자에 공통으로 있는 $(x-2)$를 약분합니다. (단, $x$가 $2$에 한없이 가까워지는 것이지 $2$는 아니므로 약분이 가능합니다.)
$$\lim_{x \to 2} 2(x+2)$$
4단계: 극한값 구하기
남은 식에 $x=2$를 대입하여 최종 극한값을 구합니다.
$$2 \times (2 + 2) = 2 \times 4 = 8$$
두 가지 방법 모두 결과가 $8$로 똑같이 나오는 것을 확인할 수 있습니다!
답
**① $8$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> [질문]
> 함수 $g(x) = 3x^2 - 2$에 대하여 다음 극한값은 얼마일까요?
> $$\lim_{x \to 1} \frac{g(x)-g(1)}{x-1}$$
> (힌트: 미분계수의 정의를 이용해 $g'(1)$을 구하거나, 직접 대입하여 약분해 보세요!)