어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$와 절댓값을 포함한 함수 $g(x)$의 그래프가 만나는 상황을 분석하고, 두 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다:
- 절댓값 함수의 범위 나누기: $x$의 부호에 따라 함수 $g(x)$를 나누어 생각합니다.
- 방정식의 실근과 그래프의 교점: 두 그래프가 만나는 점의 개수를 통해 미지수 $k$의 값을 구합니다.
- 정적분을 이용한 넓이 구하기: 두 곡선(또는 직선)으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구간을 나누어 정적분으로 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $g(x)$ 분석하기
함수 $g(x) = 4|x| + k$는 절댓값 기호를 포함하고 있으므로, $x$의 범위를 $x \ge 0$과 $x < 0$으로 나누어 써야 합니다.
$$g(x) = \begin{cases} 4x + k & (x \ge 0) \\ -4x + k & (x < 0) \end{cases}$$
이 그래프는 $y$축 대칭(우함수)이며, $x=0$일 때 $y$절편이 $k$인 V자 모양의 그래프입니다. 문제에서 $k < 0$이라고 했으므로, 이 V자 그래프의 뾰족한 점 $(0, k)$는 $x$축보다 아래에 있습니다.
2단계: 교점의 개수가 2개가 되는 $k$ 값 찾기
두 함수의 그래프가 만나는 점의 개수가 2개라는 것은 방정식 $f(x) = g(x)$의 서로 다른 실근의 개수가 2개라는 뜻입니다. $x < 0$ 영역과 $x \ge 0$ 영역으로 나누어 실근의 개수를 분석해 봅시다.
(1) $x < 0$ 일 때
방정식 $f(x) = g(x)$는 다음과 같습니다.
$$x^3 + x^2 - x = -4x + k \implies x^3 + x^2 + 3x = k$$
좌변을 $h_2(x) = x^3 + x^2 + 3x$라고 두고, 이 함수의 그래프를 그리기 위해 미분해 봅시다.
$$h_2'(x) = 3x^2 + 2x + 3$$
이 이차방정식의 판별식을 $D$라고 하면,
$$D/4 = 1^2 - 3 \times 3 = -8 < 0$$
판별식이 음수이므로 모든 실수 $x$에 대해 $h_2'(x) > 0$입니다. 즉, $h_2(x)$는 항상 증가하는 함수입니다.
$h_2(0) = 0$이므로, $x < 0$인 범위에서 $h_2(x)$는 항상 음수 값을 가지며 계속 감소하는 모양입니다.
따라서 $k < 0$일 때, 직선 $y = k$와 곡선 $y = h_2(x)$는 항상 1개의 교점을 가집니다.
(2) $x \ge 0$ 일 때
전체 교점의 개수가 2개가 되어야 하는데, 이미 $x < 0$ 영역에서 1개의 교점이 확보되었습니다. 따라서 $x \ge 0$ 영역에서도 오직 1개의 교점만 가져야 합니다.
이 영역에서의 방정식은 다음과 같습니다.
$$x^3 + x^2 - x = 4x + k \implies x^3 + x^2 - 5x = k$$
좌변을 $h_1(x) = x^3 + x^2 - 5x$라고 두고 미분해 봅시다.
$$h_1'(x) = 3x^2 + 2x - 5 = (3x + 5)(x - 1)$$
$x \ge 0$에서 $h_1'(x) = 0$이 되는 점은 $x = 1$뿐입니다.
- $0 \le x < 1$ 일 때 $h_1'(x) < 0$ (감소)
- $x > 1$ 일 때 $h_1'(x) > 0$ (증가)
즉, $h_1(x)$는 $x=1$에서 극소이자 최소가 됩니다.
극솟값은 $h_1(1) = 1 + 1 - 5 = -3$입니다.
$h_1(0) = 0$이므로, $y = h_1(x)$의 그래프는 $(0,0)$에서 출발하여 $(1, -3)$까지 내려갔다가 다시 올라가는 모양입니다.
이때 $y = k$ ($k < 0$)라는 가로선과 오직 한 점에서 만나려면, 가로선이 이 함수의 극솟값 위치에 딱 접해야 합니다. (만약 $-3 < k < 0$이면 교점이 2개가 되고, $k < -3$이면 교점이 없습니다.)
따라서 **$k = -3$** 이어야 합니다.
3단계: 교점의 $x$좌표 구하기
$k = -3$일 때, 두 그래프의 교점의 $x$좌표를 구해봅시다.
- **$x < 0$ 영역**:
$$x^3 + x^2 + 3x = -3 \implies x^3 + x^2 + 3x + 3 = 0$$
$$x^2(x+1) + 3(x+1) = 0 \implies (x^2+3)(x+1) = 0$$
실근은 **$x = -1$** 하나뿐입니다.
- **$x \ge 0$ 영역**:
$$x^3 + x^2 - 5x = -3 \implies x^3 + x^2 - 5x + 3 = 0$$
$x=1$에서 접하므로 $(x-1)^2$을 인수로 가집니다.
$$(x-1)^2(x+3) = 0$$
$x \ge 0$이므로 실근은 **$x = 1$** (중근) 하나뿐입니다.
따라서 두 그래프는 $x = -1$과 $x = 1$에서 만납니다.
4단계: 둘러싸인 부분의 넓이 $S$ 구하기
두 그래프로 둘러싸인 부분의 넓이 $S$는 $x = -1$부터 $x = 1$까지 두 함수의 차이를 정적분하여 구합니다. $g(x)$가 $x=0$을 기준으로 식이 바뀌므로, 적분 구간을 $[-1, 0]$과 $[0, 1]$로 나누어야 합니다.
이 구간에서 삼차함수 $f(x)$가 항상 $g(x)$보다 위쪽에 위치하므로 식은 다음과 같습니다.
$$S = \int_{-1}^{1} \{f(x) - g(x)\} dx = \int_{-1}^{0} \{f(x) - g(x)\} dx + \int_{0}^{1} \{f(x) - g(x)\} dx$$
(1) $[-1, 0]$ 구간에서의 적분 ($S_1$)
$$f(x) - g(x) = x^3 + x^2 + 3x + 3$$
$$S_1 = \int_{-1}^{0} (x^3 + x^2 + 3x + 3) dx$$
$$S_1 = \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 3x \right]_{-1}^{0}$$
$$S_1 = 0 - \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 3 \right) = -\left( \frac{3 - 4 + 18 - 36}{12} \right) = -\left( -\frac{19}{12} \right) = \frac{19}{12}$$
(2) $[0, 1]$ 구간에서의 적분 ($S_2$)
$$f(x) - g(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3$$
$$S_2 = \int_{0}^{1} (x^3 + x^2 - 5x + 3) dx$$
$$S_2 = \left[ \frac{1}{4}x^4 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 3x \right]_{0}^{1}$$
$$S_2 = \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 3 \right) - 0 = \frac{3 + 4 - 30 + 36}{12} = \frac{13}{12}$$
(3) 총 넓이 $S$ 계산
$$S = S_1 + S_2 = \frac{19}{12} + \frac{13}{12} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3}$$
5단계: 최종 값 구하기
우리가 구해야 하는 값은 $30 \times S$입니다.
$$30 \times S = 30 \times \frac{8}{3} = 80$$
답
$$80$$
확인해보기
만약 상수 $k$의 값이 $k = -2$로 변한다면, 두 함수의 그래프 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 만나는 점(교점)은 총 몇 개가 될까요? 위 풀이의 2단계 내용을 바탕으로 스스로 생각해보세요!