어떤 문제인가
이 문제는 지수함수 $y=2^x$ 위의 두 점을 잇는 직선의 기울기와, 이와 평행하거나 수직인 직선들의 기하학적 성질(닮음)을 결합한 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 기하학적 닮음과 좌표의 비: 두 직각삼각형이 닮음일 때, 빗변의 길이의 비는 밑변(x축 방향)과 높이(y축 방향)의 길이의 비와 같습니다.
- 직선의 기울기: 두 점을 지나는 직선의 기울기를 구하는 공식과, 평행한 두 직선의 기울기가 같다는 성질을 이용합니다.
- 지수법칙과 방정식: 지수 형태로 표현된 좌표들을 정리하여 미지수 $a$와 $b$의 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 점 $\mathrm{P}$와 직선 $\mathrm{AB}$의 관계를 통해 좌표 표현하기
기울기가 $-m$인 직선이 $y$축과 만나는 점이 $\mathrm{B}$, $x$축과 만나는 점이 $\mathrm{A}$입니다. 점 $\mathrm{P}(a, 2^a)$는 이 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 있습니다.
문제에서 $\overline{\mathrm{AB}} = 4\overline{\mathrm{PB}}$라고 했습니다. 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 있으므로, 이 조건은 선분 $\mathrm{PB}$와 선분 $\mathrm{PA}$의 길이의 비가 $1 : 3$이라는 뜻입니다. 즉, 다음과 같습니다.
$$\overline{\mathrm{PB}} : \overline{\mathrm{PA}} = 1 : 3$$
이 기하학적 비율을 $x$축과 $y$축에 투영해 봅시다. 닮음비에 의해 좌표의 차이도 동일한 비율을 가집니다.
- **$x$좌표 분석**: 점 $\mathrm{B}$의 $x$좌표는 $0$, 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표는 $a$입니다. 비율이 $1:3$이므로 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 $4a$가 되어야 합니다.
$$\mathrm{A}(4a, 0)$$
- **$y$좌표 분석**: 점 $\mathrm{A}$의 $y$좌표는 $0$, 점 $\mathrm{P}$의 $y$좌표는 $2^a$입니다. 비율이 $3:1$이므로 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표는 $2^a$의 $\frac{4}{3}$배가 되어야 합니다.
$$\mathrm{B}\left(0, \frac{4}{3} \cdot 2^a\right)$$
이 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$를 이용해 직선의 기울기 $-m$을 구해보면 다음과 같습니다.
$$-m = \frac{0 - \frac{4}{3} \cdot 2^a}{4a - 0} = -\frac{2^a}{3a}$$
따라서, 기울기 $m$은 다음과 같이 정리됩니다.
$$m = \frac{2^a}{3a} \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
2단계: 닮음을 이용하여 점 $\mathrm{Q}$와 $\mathrm{C}$의 관계 분석하기
점 $\mathrm{Q}(b, 2^b)$를 지나고 기울기가 $-m$인 직선이 $x$축과 만나는 점이 $\mathrm{C}$입니다. 이 직선은 직선 $\mathrm{AB}$와 평행합니다.
문제에서 $\overline{\mathrm{CQ}} = 3\overline{\mathrm{AB}}$라고 주어졌습니다.
두 직선이 평행하므로, 선분 $\mathrm{CQ}$를 빗변으로 하는 직각삼각형과 선분 $\mathrm{AB}$를 빗변으로 하는 직각삼각형은 서로 닮음입니다. 닮음비는 $3 : 1$입니다.
따라서 선분 $\mathrm{CQ}$의 $y$축 방향 높이(즉, 점 $\mathrm{Q}$의 $y$좌표)는 선분 $\mathrm{AB}$의 $y$축 방향 높이(즉, 점 $\mathrm{B}$의 $y$좌표)의 정확히 $3$배가 되어야 합니다.
$$2^b = 3 \times \left(\text{점 }\mathrm{B}\text{의 } y\text{좌표}\right)$$
$$2^b = 3 \times \left(\frac{4}{3} \cdot 2^a\right) = 4 \cdot 2^a$$
지수법칙을 이용해 정리하면 다음과 같습니다.
$$2^b = 2^2 \cdot 2^a = 2^{a+2}$$
밑이 같으므로 지수끼리 비교하면 아주 유용한 관계식을 얻을 수 있습니다!
$$b = a + 2 \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 두 가지 방법으로 표현된 기울기 $m$ 비교하기
이제 우리는 $m$을 구하는 또 다른 방법인 "두 점 $\mathrm{P}$와 $\mathrm{Q}$를 지나는 직선의 기울기"를 이용할 것입니다.
$$m = \frac{2^b - 2^a}{b - a}$$
여기에 (식 2)에서 구한 $b = a + 2$를 대입해 봅시다.
$$m = \frac{2^{a+2} - 2^a}{(a+2) - a} = \frac{4 \cdot 2^a - 2^a}{2} = \frac{3 \cdot 2^a}{2} \quad \cdots \text{ (식 3)}$$
이제 (식 1)에서 구한 $m$과 (식 3)에서 구한 $m$은 같아야 하므로, 두 식을 연립합니다.
$$\frac{2^a}{3a} = \frac{3 \cdot 2^a}{2}$$
양변에서 $2^a$는 양수이므로 나눌 수 있습니다.
$$\frac{1}{3a} = \frac{3}{2}$$
양변의 역수를 취하거나 대각선으로 곱하면 다음과 같습니다.
$$9a = 2 \implies a = \frac{2}{9}$$
4단계: 최종 값 계산하기
$a = \frac{2}{9}$이므로, (식 2)에 대입하여 $b$를 구합니다.
$$b = a + 2 = \frac{2}{9} + 2 = \frac{20}{9}$$
우리가 구하고자 하는 값은 $90 \times (a+b)$입니다.
$$a + b = \frac{2}{9} + \frac{20}{9} = \frac{22}{9}$$
$$90 \times (a+b) = 90 \times \frac{22}{9} = 10 \times 22 = 220$$
답
$$220$$
확인해보기
선분 위의 점의 비율이 달라졌을 때의 상황을 이해했는지 확인해봅시다.
질문: 만약 문제의 조건 중 $\overline{\mathrm{AB}} = 4\overline{\mathrm{PB}}$ 대신에 $\overline{\mathrm{AB}} = 3\overline{\mathrm{PB}}$로 바뀐다면, 점 $\mathrm{A}$의 $x$좌표는 점 $\mathrm{P}$의 $x$좌표인 $a$의 몇 배가 될까요? (닮음비와 내분점의 성질을 생각하며 스스로 답해 보세요.)