어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하는 문제입니다. 문제에서 제시된 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 대칭이동: $g(x)$의 식에서 $x < t$일 때의 식 $-f(x) + 2f(t)$가 기하학적으로 어떤 의미인지 이해해야 합니다.
- 방정식의 실근의 개수: $g(x) = 0$의 실근의 개수 $h(t)$를 $t$의 변화에 따라 추적해야 합니다.
- 함수의 연속성: $h(t)$가 단 두 개의 값에서만 불연속이 되도록 하는 삼차함수 $f(x)$의 극소값을 결정해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $g(x)$의 기하학적 의미 이해하기
먼저 $g(x)$의 정의를 살펴봅시다.
$$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge t) \\ -f(x)+2f(t) & (x < t) \end{cases}$$
이 식에서 $x < t$일 때의 식 $y = -f(x) + 2f(t)$는 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
$$y - f(t) = -(f(x) - f(t))$$
이것은 원래 함수 $y = f(x)$의 그래프를 가로선 $y = f(t)$에 대해 위아래로 뒤집은(대칭이동한) 그래프를 뜻합니다.
즉, $g(x)$는 $x=t$를 기준으로:
- 오른쪽($x \ge t$)은 원래 $f(x)$ 그래프를 그대로 두고,
- 왼쪽($x < t$)은 점 $(t, f(t))$를 지나는 가로선 $y=f(t)$를 기준으로 뒤집은 그래프입니다.
따라서 $g(x) = 0$의 실근의 개수 $h(t)$는 $g(x)$의 그래프가 $x$축($y=0$)과 만나는 서로 다른 점의 개수입니다.
2단계: $g(x) = 0$의 실근 조건 분석하기
$g(x) = 0$이 되는 $x$는 다음 두 가지 경우로 나뉩니다.
- $x \ge t$ 영역에서: $f(x) = 0$
- $x < t$ 영역에서: $-f(x) + 2f(t) = 0 \iff f(x) = 2f(t)$
즉, $h(t)$는 다음 두 개수의 합입니다.
- $t$ 이상인 영역에서 $f(x)$가 $x$축($y=0$)과 만나는 점의 개수
- $t$ 미만인 영역에서 $f(x)$가 가로선 $y = 2f(t)$와 만나는 점의 개수
3단계: $h(t)$가 불연속이 되는 후보 찾기
$t$의 값이 변함에 따라 $h(t)$의 값(교점의 개수)이 갑자기 변하는 순간(불연속점)은 언제일까요?
- 경계선 $t$가 $f(x) = 0$의 근을 지나갈 때
- 움직이는 가로선 $y = 2f(t)$가 $f(x)$의 극댓값($8$) 또는 극솟값($k$)과 접할 때
즉, $2f(t) = 8 \implies f(t) = 4$일 때와 $2f(t) = k \implies f(t) = \frac{k}{2}$일 때 실근의 개수가 변할 가능성이 있습니다.
4단계: 불연속점이 딱 2개만 존재할 조건 찾기
극소점의 $x$좌표를 $\beta>3$, 극솟값을 $k<8$이라 합시다. 가로선이 극점에 닿더라도 그 극점이 $x<t$ 범위에 있을 때만 왼쪽 근의 개수에 영향을 줍니다.
먼저 $k>0$이면 $f(x)=0$의 근은 $\alpha<3$ 하나입니다. $t<\alpha$에서는 오른쪽 근과 왼쪽 근이 하나씩 있어 $h(t)=2$이고, $t=\alpha$에서는 경계의 근 하나만 남습니다. $\alpha$ 바로 오른쪽에서는 두 근이 모두 없어져 $h(t)=0$입니다. 따라서 $\alpha$는 항상 불연속점입니다.
나머지 불연속점은 $t>3$에서 $f(t)=4$가 되는 곳입니다. $k>0$일 때 $t>\beta$이면 $f(t)\ge k>k/2$이므로 극소점과의 접촉은 추가 불연속점을 만들지 않습니다.
- $k>4$: $t>3$에서 $f(t)=4$인 점이 없으므로 불연속점은 $\alpha$ 하나입니다.
- $k=4$: $t=\beta$에서만 $2f(t)=8$입니다. 이 순간 $x=3<\beta$가 왼쪽 근이 되어 $h(\beta)=1$이고, 그 양옆에서는 $h(t)=0$입니다. 따라서 불연속점은 $\alpha,\beta$ 두 개입니다.
- $0<k<4$: $(3,\beta)$와 $(\beta,\infty)$에 $f(t)=4$인 점이 하나씩 있어, $\alpha$와 함께 불연속점이 세 개입니다.
$k\le0$도 살펴봐야 합니다. $k<0$이면 $f(x)=0$의 서로 다른 세 근이 각각 불연속점입니다. 단순근을 $t$가 통과할 때 오른쪽 근 하나와 경계 부근의 왼쪽 근 하나가 사라지며, 높이 $0$은 두 극값과 달라 이 변화가 상쇄되지 않습니다. $k=0$이면 왼쪽의 단순근과 $t>3$에서 $f(t)=4$인 두 점이 모두 불연속점이므로 역시 적어도 세 개입니다.
따라서 조건을 만족하는 극솟값은 $k=4$뿐입니다.
5단계: 삼차함수 $f(x)$ 식 세우기
극점의 위치를 알면 도함수부터 세워 식을 복원할 수 있습니다.
- 극댓값: $f(3) = 8$
- 극솟값: $f(\beta) = 4$ (단, $\beta > 3$)
삼차함수에서 극댓값과 극솟값의 차이는 다음과 같은 공식이 성립합니다.
$$\text{극댓값} - \text{극솟값} = \frac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3$$
(여기서 $a$는 최고차항의 계수 $1$, $\alpha=3$, $\beta$는 극소점)
공식에 대입해 봅시다.
$$8 - 4 = \frac{1}{2}(\beta - 3)^3$$
$$4 = \frac{1}{2}(\beta - 3)^3 \implies (\beta - 3)^3 = 8$$
따라서 $\beta - 3 = 2 \implies \beta = 5$입니다.
즉, $f(x)$는 $x=3$에서 극대(값 8), $x=5$에서 극소(값 4)를 가집니다.
도함수의 인수분해(2:1 법칙)에 의해, 극대점 $x=3$에서 그은 접선 $y=8$이 $f(x)$와 다시 만나는 점의 $x$좌표는 $3 + 3 = 6$이 됩니다.
따라서 $f(x)$의 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f(x) = (x-3)^2(x-6) + 8$$
6단계: $f(8)$ 계산하기
이제 구하고자 하는 $f(8)$의 값을 구해봅시다. 식에 $x=8$을 대입합니다.
$$f(8) = (8-3)^2(8-6) + 8$$
$$f(8) = 5^2 \times 2 + 8$$
$$f(8) = 25 \times 2 + 8 = 50 + 8 = 58$$
답
$$58$$
확인해보기
질문: 만약 삼차함수 $f(x)$의 극댓값이 $8$이 아니라 $10$이었다면, $h(t)$가 단 두 개의 점에서만 불연속이 되기 위한 $f(x)$의 극솟값 $k$는 얼마가 되어야 할까요? 오늘 배운 원리를 적용해 스스로 생각해 보세요!