어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하는 문제입니다. 문제에서 제시된 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 대칭이동: $g(x)$의 식에서 $x < t$일 때의 식 $-f(x) + 2f(t)$가 기하학적으로 어떤 의미인지 이해해야 합니다.
- 방정식의 실근의 개수: $g(x) = 0$의 실근의 개수 $h(t)$를 $t$의 변화에 따라 추적해야 합니다.
- 함수의 연속성: $h(t)$가 단 두 개의 값에서만 불연속이 되도록 하는 삼차함수 $f(x)$의 극소값을 결정해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $g(x)$의 기하학적 의미 이해하기
먼저 $g(x)$의 정의를 살펴봅시다.
$$g(x) = \begin{cases} f(x) & (x \ge t) \\ -f(x)+2f(t) & (x < t) \end{cases}$$
이 식에서 $x < t$일 때의 식 $y = -f(x) + 2f(t)$는 다음과 같이 변형할 수 있습니다.
$$y - f(t) = -(f(x) - f(t))$$
이것은 원래 함수 $y = f(x)$의 그래프를 **가로선 $y = f(t)$에 대해 위아래로 뒤집은(대칭이동한) 그래프**를 뜻합니다.
즉, $g(x)$는 $x=t$를 기준으로:
- 오른쪽($x \ge t$)은 원래 $f(x)$ 그래프를 그대로 두고,
- 왼쪽($x < t$)은 점 $(t, f(t))$를 지나는 가로선 $y=f(t)$를 기준으로 뒤집은 그래프입니다.
따라서 $g(x) = 0$의 실근의 개수 $h(t)$는 **$g(x)$의 그래프가 $x$축($y=0$)과 만나는 서로 다른 점의 개수**입니다.
2단계: $g(x) = 0$의 실근 조건 분석하기
$g(x) = 0$이 되는 $x$는 다음 두 가지 경우로 나뉩니다.
- $x \ge t$ 영역에서: $f(x) = 0$
- $x < t$ 영역에서: $-f(x) + 2f(t) = 0 \iff f(x) = 2f(t)$
즉, $h(t)$는 다음 두 개수의 합입니다.
- $t$ 이상인 영역에서 $f(x)$가 $x$축($y=0$)과 만나는 점의 개수
- $t$ 미만인 영역에서 $f(x)$가 가로선 $y = 2f(t)$와 만나는 점의 개수
3단계: $h(t)$가 불연속이 되는 후보 찾기
$t$의 값이 변함에 따라 $h(t)$의 값(교점의 개수)이 갑자기 변하는 순간(불연속점)은 언제일까요?
- 경계선 $t$가 $f(x) = 0$의 근을 지나갈 때
- 움직이는 가로선 $y = 2f(t)$가 $f(x)$의 극댓값($8$) 또는 극솟값($k$)과 접할 때
즉, $2f(t) = 8 \implies f(t) = 4$일 때와 $2f(t) = k \implies f(t) = \frac{k}{2}$일 때 실근의 개수가 변할 가능성이 있습니다.
4단계: 불연속점이 딱 2개만 존재할 조건 찾기
삼차함수 $f(x)$는 $x=3$에서 극댓값 $8$을 가집니다. 극솟값을 $k$라고 해봅시다.
만약 극솟값 $k$가 $4$가 된다면 어떤 일이 벌어질까요?
$k=4$이면, $f(t) = 4$인 순간과 $f(t) = \frac{k}{2} = 2$인 순간이 중요해집니다.
실제로 $k=4$일 때 그래프를 그려 $h(t)$를 추적해 보면 다음과 같습니다.
- $f(x) = 0$의 실근은 극솟값이 $4(>0)$이므로 오직 $1$개만 존재합니다. 이 실근을 $\alpha$라 합시다 ($\alpha < 3$).
- $t$가 아주 작을 때부터 커질 때, $h(t)$의 변화를 관찰하면:
1. $t = \alpha$를 지날 때: $x \ge t$ 영역에서 $f(x)=0$의 근을 잃어버리므로 $h(t)$가 변합니다. (첫 번째 불연속점)
2. $t$가 극소점인 $x=5$에 도달할 때: $f(5) = 4$이므로 $2f(5) = 8$이 되어, $x < 5$ 영역에서 극대점 $(3, 8)$이 $x$축에 닿게 됩니다. 이때 실근의 개수가 순간적으로 변합니다. (두 번째 불연속점)
이 외의 지점에서는 대칭이동된 그래프의 극대/극소가 $x$축과 만나지 않거나 비껴가므로 $h(t)$가 연속입니다.
따라서 **극솟값 $k$가 정확히 $4$일 때만 불연속인 $a$의 값이 단 두 개 존재**하게 됩니다!
5단계: 삼차함수 $f(x)$ 식 세우기
삼차함수의 비율 관계를 이용하면 식을 아주 쉽게 세울 수 있습니다.
- 극댓값: $f(3) = 8$
- 극솟값: $f(\beta) = 4$ (단, $\beta > 3$)
삼차함수에서 극댓값과 극솟값의 차이는 다음과 같은 공식이 성립합니다.
$$\text{극댓값} - \text{극솟값} = \frac{|a|}{2}(\beta - \alpha)^3$$
(여기서 $a$는 최고차항의 계수 $1$, $\alpha=3$, $\beta$는 극소점)
공식에 대입해 봅시다.
$$8 - 4 = \frac{1}{2}(\beta - 3)^3$$
$$4 = \frac{1}{2}(\beta - 3)^3 \implies (\beta - 3)^3 = 8$$
따라서 $\beta - 3 = 2 \implies \beta = 5$입니다.
즉, $f(x)$는 $x=3$에서 극대(값 8), $x=5$에서 극소(값 4)를 가집니다.
삼차함수의 비율 관계(2:1 법칙)에 의해, 극대점 $x=3$에서 그은 접선 $y=8$이 $f(x)$와 다시 만나는 점의 $x$좌표는 $3 + 3 = 6$이 됩니다.
따라서 $f(x)$의 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$f(x) = (x-3)^2(x-6) + 8$$
6단계: $f(8)$ 계산하기
이제 구하고자 하는 $f(8)$의 값을 구해봅시다. 식에 $x=8$을 대입합니다.
$$f(8) = (8-3)^2(8-6) + 8$$
$$f(8) = 5^2 \times 2 + 8$$
$$f(8) = 25 \times 2 + 8 = 50 + 8 = 58$$
답
$$58$$
확인해보기
질문: 만약 삼차함수 $f(x)$의 극댓값이 $8$이 아니라 $10$이었다면, $h(t)$가 단 두 개의 점에서만 불연속이 되기 위한 $f(x)$의 극솟값 $k$는 얼마가 되어야 할까요? 오늘 배운 원리를 적용해 스스로 생각해 보세요!