어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼각함수의 성질을 이용해서 다른 삼각함수($\tan\theta$)의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음의 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 각 변환 공식: $\sin(\pi-\theta)$를 단순한 $\theta$에 대한 식으로 바꾸기
- 사분면에 따른 삼각함수의 부호: $\sin\theta$와 $\cos\theta$의 부호를 보고 $\theta$가 몇 사분면의 각인지 알아내기
- 삼각함수 사이의 관계: $\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ 사이의 관계식($\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$, $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$) 이해하기
단계별 풀이
1단계: 각 변환 공식을 이용해 식 단순하게 만들기
가장 먼저 복잡해 보이는 $\sin(\pi-\theta)$를 간단하게 만들어 봅시다.
삼각함수의 각 변환 공식에 의하면, $y$축 대칭 성질에 의해 다음이 성립합니다.
$$\sin(\pi-\theta) = \sin\theta$$
따라서 문제에서 주어진 조건은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
$$\sin\theta = \frac{5}{13}$$
2단계: $\theta$가 몇 사분면의 각인지 확인하고 부호 결정하기
이제 $\theta$가 존재하는 사분면을 찾아야 합니다. 사분면별 삼각함수의 부호 규칙(올-싸-탄-코)을 떠올려 보세요.
- 1단계에서 구한 값에 의해 $\sin\theta = \frac{5}{13} > 0$ (양수)입니다. 사인이 양수인 곳은 제1사분면 또는 제2사분면입니다.
- 문제 조건에서 $\cos\theta < 0$ (음수)라고 했습니다. 코사인이 음수인 곳은 제2사분면 또는 제3사분면입니다.
두 조건을 동시에 만족하는 $\theta$는 제2사분면의 각입니다.
제2사분면에서는 오직 사인($\sin$)만 양수이므로, 우리가 구하고자 하는 **$\tan\theta$의 부호는 음수(-)**가 되어야 합니다.
3단계: $\tan\theta$의 값 계산하기
삼각함수의 값을 구할 때는 직각삼각형을 그리는 것이 가장 직관적이고 쉽습니다.
부호를 잠시 제외하고 크기만 생각해서, 사인 값이 $\frac{5}{13}$가 되는 직각삼각형을 그려봅시다.
- 빗변의 길이 = $13$
- 높이(대변)의 길이 = $5$
피타고라스 정리($\text{밑변}^2 + \text{높이}^2 = \text{빗변}^2$)를 이용해 밑변(이웃변)의 길이를 구하면 다음과 같습니다.
$$\text{밑변} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$
이 직각삼각형에서 탄젠트의 크기(절댓값)는 $\frac{\text{높이}}{\text{밑변}}$이므로 다음과 같습니다.
$$|\tan\theta| = \frac{5}{12}$$
앞서 2단계에서 $\theta$가 제2사분면의 각이므로 $\tan\theta$의 부호는 음수(-)여야 한다고 했지요? 따라서 최종 값은 다음과 같습니다.
$$\tan\theta = -\frac{5}{12}$$
답
**② $-\frac{5}{12}$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 만약 문제 조건이 $\sin(\pi-\theta) = \frac{5}{13}$ 이고, $\cos\theta > 0$ 으로 바뀌었다면, $\tan\theta$의 값은 어떻게 변할까요? 사분면과 부호의 변화에 집중해서 생각해보세요.