어떤 문제인가
이 문제는 주어진 함수 $f(x)$가 실수 전체의 집합에서 끊어지지 않고 부드럽게 이어지는 '연속'이 되도록 하는 상수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 함수의 연속성: 함수가 특정 지점 $x=c$에서 연속이려면, $x=c$에서의 좌극한, 우극한, 그리고 함숫값이 모두 존재하고 그 값이 서로 같아야 합니다.
- 구간별로 정의된 함수: 경계가 되는 지점(이 문제에서는 $x=a$)을 기준으로 좌우에서 서로 다른 식을 적용하여 극한값을 구해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 연속성을 조사해야 하는 '경계점' 찾기
함수 $f(x)$를 보면 $x < a$인 구간에서는 일차함수 $-2x+a$이고, $x > a$인 구간에서도 일차함수 $ax-6$입니다. 일차함수는 실수 전체에서 항상 연속이므로, 우리가 확인해야 할 유일한 곳은 식의 모양이 바뀌는 경계점인 **$x = a$**뿐입니다.
따라서 $f(x)$가 실수 전체에서 연속이 되려면, **$x = a$에서 연속**이어야 합니다.
2단계: $x = a$에서 좌극한, 우극한, 함숫값 구하기
$x = a$에서 연속이 되기 위한 조건을 식으로 세워봅시다.
- **함숫값 및 좌극한 ($x \le a$ 일 때의 식 사용)**
$x$가 $a$보다 작거나 같으면서 $a$에 가까워질 때의 식은 $-2x+a$입니다.
$$f(a) = \lim_{x \to a^-} f(x) = -2(a) + a = -a$$
- **우극한 ($x > a$ 일 때의 식 사용)**
$x$가 $a$보다 크면서 $a$에 가까워질 때의 식은 $ax-6$입니다.
$$\lim_{x \to a^+} f(x) = a(a) - 6 = a^2 - 6$$
3단계: 연속 조건으로 방정식 세우고 풀기
$x=a$에서 연속이려면 위에서 구한 좌극한(함숫값)과 우극한이 서로 같아야 합니다.
$$-a = a^2 - 6$$
이 식을 우변으로 모두 이항하여 정리하면 익숙한 이차방정식이 됩니다.
$$a^2 + a - 6 = 0$$
이 이차방정식을 인수분해 해볼까요? 곱해서 $-6$, 더해서 $1$이 되는 두 수는 $3$과 $-2$입니다.
$$(a+3)(a-2) = 0$$
따라서 조건을 만족하는 상수 $a$의 값은 다음과 같습니다.
$$a = -3 \quad \text{또는} \quad a = 2$$
4단계: 모든 상수 $a$의 값의 합 구하기
문제에서 요구한 것은 '모든 상수 $a$의 값의 합'입니다.
$$-3 + 2 = -1$$
*(참고: 이차방정식 $a^2 + a - 6 = 0$에서 근과 계수의 관계를 이용하면, 두 근의 합은 $-\frac{b}{a} = -\frac{1}{1} = -1$임을 계산 없이도 바로 알 수 있습니다!)*
답
**① $-1$**
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
> [질문]
> 함수 $g(x) = \begin{cases} x+3 & (x \le 1) \\ kx-1 & (x > 1) \end{cases}$ 가 $x=1$에서 연속이 되도록 하는 상수 $k$의 값은 얼마일까요?