어떤 문제인가
이 문제는 등차수열의 성질을 이용하여 특정 항의 값을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 등차수열의 일반항: 첫째항이 $a_1$이고 공차(이웃한 항의 차이)가 $d$인 등차수열 $\{a_n\}$의 일반항은 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 입니다.
- 연립방정식: 문제에서 주어진 두 개의 조건을 첫째항 $a_1$과 공차 $d$에 대한 식으로 나타낸 뒤, 두 식을 연립하여 $a_1$과 $d$의 값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 등차수열의 일반항 공식으로 각 항 표현하기
우리가 구하고자 하는 것은 $a_2$이고, 주어진 조건에는 $a_1, a_5, a_8, a_{12}$가 등장합니다. 이 모든 항을 첫째항 $a_1$과 공차 $d$를 사용해서 나타내 봅시다. 등차수열의 일반항 공식 $a_n = a_1 + (n-1)d$를 사용합니다.
- $a_5 = a_1 + 4d$
- $a_8 = a_1 + 7d$
- $a_{12} = a_1 + 11d$
2단계: 첫 번째 조건($a_1 = 2a_5$)을 식으로 나타내기
첫 번째 조건에 1단계에서 구한 식을 대입해 봅시다.
$$a_1 = 2(a_1 + 4d)$$
괄호를 풀어서 정리해 볼까요?
$$a_1 = 2a_1 + 8d$$
우변의 $2a_1$을 좌변으로 이항하면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$a_1 = -8d \quad \cdots \text{(식 1)}$$
3단계: 두 번째 조건($a_8 + a_{12} = -6$)을 식으로 나타내기
두 번째 조건에도 1단계에서 구한 식들을 대입해 봅시다.
$$(a_1 + 7d) + (a_1 + 11d) = -6$$
동류항끼리 더해서 식을 간단히 정리합니다.
$$2a_1 + 18d = -6$$
양변을 $2$로 나누면 더 간단해집니다.
$$a_1 + 9d = -3 \quad \cdots \text{(식 2)}$$
4단계: 연립방정식을 풀어 $a_1$과 $d$ 구하기
이제 (식 1)에서 구한 $a_1 = -8d$를 (식 2)에 대입해 봅시다. (대입법 사용)
$$(-8d) + 9d = -3$$
$$d = -3$$
공차 $d$가 $-3$임을 알아냈습니다! 이 값을 다시 (식 1)에 대입하여 첫째항 $a_1$을 구합니다.
$$a_1 = -8 \times (-3) = 24$$
5단계: 최종 구하고자 하는 $a_2$의 값 계산하기
우리가 구해야 하는 것은 $a_2$입니다. 등차수열의 정의에 따라 $a_2$는 첫째항에 공차를 한 번 더한 값입니다.
$$a_2 = a_1 + d$$
$$a_2 = 24 + (-3) = 21$$
따라서 구하고자 하는 값은 $21$입니다.
답
③ 21
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> [질문]
> 첫째항이 $a_1 = 10$이고 공차가 $d = -3$인 등차수열 $\{a_n\}$이 있습니다. 이 수열의 제5항인 $a_5$의 값은 얼마일까요? 등차수열의 일반항 공식을 생각하며 직접 계산해 보세요!