어떤 문제인가
이 문제는 주어진 삼차함수의 극댓값을 이용해서 미지수 $k$의 값을 구하고, 이를 통해 함수의 극솟값을 찾아내는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 꼭 넣어야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 도함수와 극값의 관계: 함수 $f(x)$가 $x=\alpha$에서 극값을 가지면, 그 지점에서의 접선의 기울기인 도함수 값은 $f'(\alpha) = 0$이 됩니다.
- 삼차함수의 그래프 개형: 최고차항의 계수가 양수($1 > 0$)인 삼차함수는 일반적으로 '올라갔다 내려갔다 다시 올라가는' ($\sim$ 모양) 형태를 가집니다. 즉, 먼저 극대를 갖고 그 다음에 극소를 갖습니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$를 미분하여 도함수 구하기
극값이 어디서 존재하는지 찾기 위해, 먼저 함수를 미분하여 접선의 기울기가 $0$이 되는 지점을 찾아야 합니다.
$$f(x) = x^3 - 3x^2 + k$$
이 식을 $x$에 대해 미분하면 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$
2단계: 도함수가 $0$이 되는 $x$의 값 구하기
기울기가 $0$인 지점($f'(x) = 0$)을 찾기 위해 인수분해를 합니다.
$$3x^2 - 6x = 0$$
$$3x(x - 2) = 0$$
따라서 $x = 0$ 또는 $x = 2$에서 극값을 가질 가능성이 있습니다.
3단계: 극대와 극소 위치 파악하기
삼차함수 $f(x)$의 최고차항( $x^3$ )의 계수가 양수이므로, 그래프는 왼쪽에서 오른쪽으로 갈 때 **증가 $\rightarrow$ 감소 $\rightarrow$ 증가**하는 모양을 가집니다.
- $x < 0$ 일 때: $f'(x) > 0$ (증가)
- $0 < x < 2$ 일 때: $f'(x) < 0$ (감소)
- $x > 2$ 일 때: $f'(x) > 0$ (증가)
따라서,
- $x = 0$에서 극댓값을 가집니다.
- $x = 2$에서 극솟값을 가집니다.
4단계: 극댓값을 이용하여 상수 $k$ 구하기
문제에서 극댓값이 $9$라고 주어졌습니다. $x = 0$에서 극댓값을 가지므로 $f(0) = 9$입니다.
원래 함수 식에 $x = 0$을 대입해 봅시다.
$$f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + k = 9$$
$$k = 9$$
이제 완벽한 함수 식을 얻었습니다: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 9$
5단계: 극솟값 구하기
우리가 구하고자 하는 극솟값은 $x = 2$일 때의 함숫값인 $f(2)$입니다. 함수 식에 $x = 2$를 대입해 계산해 봅시다.
$$f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 9$$
$$f(2) = 8 - 12 + 9$$
$$f(2) = 5$$
따라서 구하고자 하는 극솟값은 $5$입니다.
답
⑤ 5
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 질문에 답해 보세요.
> 질문: 만약 함수 $g(x) = -x^3 + 3x^2 + a$의 극솟값이 $2$라면, 이 함수의 극댓값은 얼마일까요? (힌트: 최고차항의 계수가 음수일 때는 그래프의 모양이 어떻게 변할지 먼저 생각해 보세요!)