어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합 $S_n$과 일반항 $a_n$ 사이의 관계를 이해하고, 이를 이용해 주어진 시그마($\sum$) 식을 간단하게 정리하여 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 수열의 합과 일반항의 관계: $S_n$의 정의($a_1$부터 $a_n$까지의 합)를 이용해 $S_k - a_k$를 더 간단한 식(즉, $S_{k-1}$)으로 나타내기
- 부분분수 분해: 분모가 곱의 형태인 분수를 차의 형태로 쪼개어 계산을 쉽게 만들기 ($\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$)
단계별 풀이
1단계: 구하고자 하는 식의 내부($S_k - a_k$)를 간단하게 정리하기
우리가 구해야 하는 식은 $\sum_{k=1}^{10} (S_k - a_k)$입니다. 먼저 시그마 기호 안의 $S_k - a_k$가 무엇을 뜻하는지 생각해 봅시다.
$S_k$는 첫째항부터 제$k$항까지의 합입니다.
$$S_k = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{k-1} + a_k$$
여기서 마지막 항인 $a_k$를 빼면 어떻게 될까요?
$$S_k - a_k = a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_{k-1}$$
이것은 첫째항부터 제$(k-1)$항까지의 합이므로, 바로 $S_{k-1}$과 같습니다!
$$S_k - a_k = S_{k-1} \quad (단, k \ge 2)$$
만약 $k=1$일 때는 어떻게 될까요?
$$S_1 - a_1 = a_1 - a_1 = 0$$이 됩니다.
2단계: 시그마 식에 대입하여 펼쳐보기
이제 위에서 찾은 성질을 이용해 구하고자 하는 합을 직접 써봅시다.
$$\sum_{k=1}^{10} (S_k - a_k) = (S_1 - a_1) + (S_2 - a_2) + (S_3 - a_3) + \dots + (S_{10} - a_{10})$$
각 항을 $S_{k-1}$ 형태로 바꾸어 대입하면 다음과 같습니다.
$$= 0 + S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_9$$
결국 우리가 구해야 하는 값은 $S_1$부터 $S_9$까지의 합이 됩니다. 시그마 기호로 다시 예쁘게 묶어볼까요?
$$\sum_{k=1}^{10} (S_k - a_k) = \sum_{k=1}^{9} S_k$$
3단계: 부분분수를 이용하여 합 계산하기
문제에서 $S_n = \frac{1}{n(n+1)}$이라고 주어졌습니다. 따라서 우리가 계산해야 할 식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{9} S_k = \sum_{k=1}^{9} \frac{1}{k(k+1)}$$
분모가 $k(k+1)$로 연속한 두 수의 곱이므로, 부분분수 공식 $\frac{1}{A B} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} - \frac{1}{B}\right)$을 적용합니다. 여기서 $A=k, B=k+1$로 두면 $B-A=1$이므로 다음과 같이 분해됩니다.
$$\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$$
이제 $k=1$부터 $9$까지 차례대로 대입하여 더해봅시다.
$$\sum_{k=1}^{9} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) = \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \dots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)$$
이웃한 항들이 서로 지워지는 규칙이 보이나요? $-\frac{1}{2}$과 $+\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{3}$과 $+\frac{1}{3}$ 등이 차례로 지워지고 맨 앞의 항과 맨 뒤의 항만 남게 됩니다.
$$= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$$
답
정답은 **⑤ $\frac{9}{10}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 보세요!
질문: 만약 문제의 조건은 그대로이고 구하고자 하는 값이 $\sum_{k=1}^{5} (S_k - a_k)$로 바뀐다면, 이 값은 얼마가 될까요? 직접 손으로 계산해 보세요.