어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 서로 다른 곡선이 하나의 직선(접선)을 공유하는 상황을 다루고 있습니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 접선의 기울기와 미분계수: 곡선 위의 한 점에서의 접선의 기울기는 그 점에서의 미분계수(도함수 값)와 같습니다.
- 접선의 방정식: 한 점 $(x_1, y_1)$을 지나고 기울기가 $m$인 직선의 방정식은 $y - y_1 = m(x - x_1)$입니다.
- 두 곡선에 공통으로 접하는 직선: 한 곡선의 접선이 다른 곡선에도 접하려면, 다른 곡선 위의 어떤 점에서의 접선의 기울기와 $y$절편이 원래 구한 접선과 일치해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 곡선 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식 구하기
먼저, 곡선 $y = x^3 - 4x + 5$ 위의 점 $(1, 2)$에서의 접선의 방정식을 구해야 합니다. 접선의 방정식을 구하려면 기울기를 알아야 하므로, 함수를 미분해 봅시다.
편의상 $f(x) = x^3 - 4x + 5$라고 두면, 도함수 $f'(x)$는 다음과 같습니다.
$$f'(x) = 3x^2 - 4$$
점 $(1, 2)$에서의 접선의 기울기는 $x=1$일 때의 미분계수이므로,
$$f'(1) = 3(1)^2 - 4 = -1$$
기울기가 $-1$이고 점 $(1, 2)$를 지나는 직선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$y - 2 = -1(x - 1)$$
$$y = -x + 3$$
이 직선이 우리가 찾는 접선입니다.
2단계: 이 접선이 두 번째 곡선 $y = x^4 + 3x + a$에 접할 조건 생각하기
방금 구한 접선 $y = -x + 3$이 두 번째 곡선 $g(x) = x^4 + 3x + a$에도 접한다고 합니다.
이 말은, 곡선 $g(x)$ 위의 어떤 접점 $(t, g(t))$에서의 접선의 기울기가 이 직선의 기울기인 $-1$과 같아야 한다는 뜻입니다.
먼저 $g(x)$를 미분하여 도함수를 구합니다.
$$g'(x) = 4x^3 + 3$$
접점의 $x$좌표를 $t$라고 하면, 이 점에서의 접선의 기울기 $g'(t)$가 $-1$이 되어야 하므로 식을 세울 수 있습니다.
$$4t^3 + 3 = -1$$
$$4t^3 = -4$$
$$t^3 = -1$$
실수 $t$의 값은 하나뿐이므로, 접점의 $x$좌표는 다음과 같습니다.
$$t = -1$$
3단계: 상수 $a$의 값 구하기
접점의 $x$좌표가 $-1$임을 알았습니다. 이 접점은 곡선 $g(x)$ 위의 점이기도 하지만, 동시에 우리가 구한 접선 $y = -x + 3$ 위의 점이기도 합니다.
따라서 $x = -1$일 때의 $y$좌표는 두 식에서 서로 같아야 합니다.
- **접선에서의 $y$값**:
$$y = -(-1) + 3 = 4$$
- **곡선 $g(x)$에서의 $y$값**:
$$g(-1) = (-1)^4 + 3(-1) + a = 1 - 3 + a = a - 2$$
두 $y$값이 같아야 하므로,
$$a - 2 = 4$$
$$a = 6$$
따라서 상수 $a$의 값은 $6$입니다.
답
**① $6$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 곡선 $y = x^2$ 위의 점 $(2, 4)$에서의 접선의 방정식은 무엇일까요? (미분을 이용해 기울기를 먼저 구해보세요!)