어떤 문제인가
이 문제는 삼각함수의 그래프가 가진 독특한 성질인 주기성과 대칭성을 활용하여 미지수를 구하고, 이를 통해 새로운 삼각방정식을 해결하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각함수의 주기: 함수 $y = \cos Bx$의 주기는 $\frac{2\pi}{|B|}$입니다.
- 삼각함수 그래프의 선대칭성: 코사인 그래프는 최댓값과 최솟값을 갖는 지점을 기준으로 좌우 대칭입니다.
- 삼각방정식의 풀이: 특수각에 대한 삼각비의 값을 이용하여 방정식의 해를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 주기와 대칭축 구하기
먼저 함수 $f(x) = \cos\frac{\pi x}{6}$의 주기와 그래프의 특징을 살펴봅시다.
$x$의 계수가 $\frac{\pi}{6}$이므로, 이 함수의 주기 $T$는 다음과 같습니다.
$$T = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{6}} = 12$$
문제에서 주어진 범위가 $[0, 12]$이므로, 우리는 딱 한 주기의 코사인 그래프만 생각하면 됩니다.
코사인 함수 $y = \cos\theta$는 $\theta = \pi$를 기준으로 대칭입니다. 따라서 $f(x) = \cos\frac{\pi x}{6}$는 주기의 절반인 $x = 6$을 기준으로 좌우 대칭인 모양을 가집니다.
2단계: 대칭성을 이용하여 $\alpha_1, \alpha_2$와 $k$의 값 구하기
곡선 $y = f(x)$와 직선 $y = k$가 만나는 두 점의 $x$좌표가 $\alpha_1, \alpha_2$입니다.
이 두 점은 대칭축인 $x = 6$으로부터 같은 거리만큼 떨어져 있습니다. 편의상 $\alpha_1 < \alpha_2$라고 합시다.
대칭성에 의해 두 근의 평균은 $6$이 되어야 합니다.
$$\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{2} = 6 \implies \alpha_1 + \alpha_2 = 12$$
또한, 문제에서 두 점 사이의 거리가 $8$이라고 주어졌습니다.
$$\alpha_2 - \alpha_1 = 8$$
이 두 식을 연립하여 일차방정식을 풀면 다음과 같습니다.
- 두 식을 더하면: $2\alpha_2 = 20 \implies \alpha_2 = 10$
- 두 식을 빼면: $2\alpha_1 = 4 \implies \alpha_1 = 2$
이제 이 좌표를 함수 $f(x)$에 대입하여 $k$의 값을 구합니다.
$$k = f(2) = \cos\frac{2\pi}{6} = \cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$
조건 $-1 < k < 1$에도 잘 부합하네요!
3단계: 함수 $g(x) = k$의 해 $\beta_1, \beta_2$ 구하기
이제 구한 $k = \frac{1}{2}$을 이용하여 방정식 $g(x) = k$를 풀어봅시다.
$$g(x) = -3\cos\frac{\pi x}{6} - 1 = \frac{1}{2}$$
이 식을 정리해 볼까요? 양변에 $1$을 더합니다.
$$-3\cos\frac{\pi x}{6} = \frac{3}{2}$$
양변을 $-3$으로 나눕니다.
$$\cos\frac{\pi x}{6} = -\frac{1}{2}$$
이 방정식을 풀기 위해 $\frac{\pi x}{6} = \theta$라고 치환합시다. $x$의 범위가 $0 \le x \le 12$이므로, $\theta$의 범위는 $0 \le \theta \le 2\pi$가 됩니다.
이 범위에서 $\cos\theta = -\frac{1}{2}$을 만족하는 $\theta$의 값은 다음과 같습니다.
$$\theta = \frac{2\pi}{3} \quad \text{또는} \quad \theta = \frac{4\pi}{3}$$
이제 원래 변수 $x$로 되돌려 놓읍시다.
- $\frac{\pi \beta_1}{6} = \frac{2\pi}{3} \implies \beta_1 = 4$
- $\frac{\pi \beta_2}{6} = \frac{4\pi}{3} \implies \beta_2 = 8$
4단계: $|\beta_1 - \beta_2|$의 값 구하기
우리가 구하고자 하는 최종 값은 두 좌표의 차이의 절대값입니다.
$$|\beta_1 - \beta_2| = |4 - 8| = 4$$
답
**③ $4$**
확인해보기
만약 문제에서 두 점 사이의 거리 조건이 $|\alpha_1 - \alpha_2| = 8$이 아니라, **$|\alpha_1 - \alpha_2| = 6$**으로 바뀐다면 이때의 상수 $k$의 값은 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요. (대칭축은 변하지 않는다는 점을 이용해 보세요!)