어떤 문제인가
이 문제는 좌표공간에 있는 두 점의 중점(Midpoint)의 좌표를 이용하여 미지수 $a$와 $b$의 값을 구하고, 그 합을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 좌표공간에서의 두 점: $x$, $y$, $z$ 세 개의 축으로 이루어진 공간에서의 점의 표현입니다.
- 선분의 중점 공식: 두 점을 양 끝으로 하는 선분의 정가운데 점(중점)의 좌표는 각 성분($x, y, z$)의 평균과 같습니다.
단계별 풀이
1단계: 선분의 중점 공식 이해하기
두 점 $\mathrm{P}(x_1, y_1, z_1)$과 $\mathrm{Q}(x_2, y_2, z_2)$를 이은 선분 $\mathrm{PQ}$의 중점 $\mathrm{M}$의 좌표는 다음과 같이 구합니다.
$$\mathrm{M} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2} \right)$$
이 공식은 "중점의 각 좌표는 두 끝점 좌표의 평균이다"라고 기억하면 쉽습니다.
2단계: $x$좌표를 이용하여 $a$ 구하기
두 점 $\mathrm{A}(a, 1, -1)$와 $\mathrm{B}(-5, b, 3)$의 $x$좌표는 각각 $a$와 $-5$입니다.
이 두 좌표의 평균이 중점의 $x$좌표인 $8$이 되어야 합니다. 식을 세워볼까요?
$$\frac{a + (-5)}{2} = 8$$
양변에 $2$를 곱하면:
$$a - 5 = 16$$
따라서 $a$의 값은 다음과 같습니다.
$$a = 21$$
3단계: $y$좌표를 이용하여 $b$ 구하기
마찬가지로 두 점 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$의 $y$좌표는 각각 $1$과 $b$입니다.
이 두 좌표의 평균이 중점의 $y$좌표인 $3$이 되어야 합니다.
$$\frac{1 + b}{2} = 3$$
양변에 $2$를 곱하면:
$$1 + b = 6$$
따라서 $b$의 값은 다음과 같습니다.
$$b = 5$$
*(참고: $z$좌표도 공식이 맞는지 확인해 보면, $\frac{-1 + 3}{2} = 1$이 되어 문제에 주어진 중점의 $z$좌표인 $1$과 일치하는 것을 볼 수 있습니다.)*
4단계: $a+b$ 계산하기
구한 $a$와 $b$의 값을 더해줍니다.
$$a + b = 21 + 5 = 26$$
답
④ 26
확인해보기
오늘 배운 공식을 잘 이해했는지 스스로 확인해 봅시다!
> [질문]
> 좌표공간의 두 점 $\mathrm{C}(2, y, -3)$과 $\mathrm{D}(x, 4, 5)$의 중점의 좌표가 $(3, 1, 1)$일 때, $x+y$의 값은 얼마일까요? 직접 식을 세워 계산해 보세요!