어떤 문제인가
이 문제는 쌍곡선 위의 한 점에서 그은 접선의 방정식을 구하고, 두 직선이 서로 수직일 조건을 이용하여 미지수 $a$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해 두어야 할 핵심 개념은 다음 2가지입니다:
- 쌍곡선 위의 점에서의 접선의 방정식: 쌍곡선 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 위의 점 $(x_1, y_1)$에서의 접선의 방정식은 $\frac{x_1x}{a^2} - \frac{y_1y}{b^2} = 1$입니다.
- 두 직선의 수직 조건: 두 직선의 기울기를 각각 $m_1, m_2$라고 할 때, 두 직선이 서로 수직이면 두 기울기의 곱은 $-1$입니다. ($m_1 \times m_2 = -1$)
단계별 풀이
1단계: 접선의 방정식 구하기
먼저 주어진 쌍곡선의 방정식은 다음과 같습니다.
$$\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$$
이 쌍곡선 위의 점 $(2a, \sqrt{3})$에서의 접선의 방정식을 구하기 위해 공식에 $x_1 = 2a$, $y_1 = \sqrt{3}$을 대입해 봅시다. (여기서 $b^2 = 1$입니다.)
$$\frac{2a \cdot x}{a^2} - \sqrt{3}y = 1$$
분모와 분자의 $a$를 약분하여 정리하면 다음과 같은 접선의 방정식을 얻을 수 있습니다.
$$\frac{2}{a}x - \sqrt{3}y = 1$$
2단계: 접선의 기울기 구하기
직선의 기울기를 쉽게 알아보기 위해, 위에서 구한 접선의 방정식을 $y = mx + n$ 꼴로 정리해 봅시다.
$$\sqrt{3}y = \frac{2}{a}x - 1$$
양변을 $\sqrt{3}$으로 나누면 다음과 같습니다.
$$y = \frac{2}{\sqrt{3}a}x - \frac{1}{\sqrt{3}}$$
따라서 우리가 구하는 접선의 기울기는 다음과 같습니다.
$$\text{기울기 } (m_1) = \frac{2}{\sqrt{3}a}$$
3단계: 수직 조건을 이용하여 $a$ 구하기
문제에서 이 접선이 직선 $y = -\sqrt{3}x + 1$과 수직이라고 했습니다.
주어진 직선의 기울기는 $m_2 = -\sqrt{3}$입니다.
두 직선이 서로 수직이므로, 두 기울기의 곱은 $-1$이 되어야 합니다.
$$m_1 \times m_2 = -1$$
위 식에 우리가 구한 기울기들을 대입해 봅시다.
$$\left(\frac{2}{\sqrt{3}a}\right) \times (-\sqrt{3}) = -1$$
좌변의 $\sqrt{3}$을 약분하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$-\frac{2}{a} = -1$$
양변에 $-1$을 곱하면,
$$\frac{2}{a} = 1$$
따라서 구하고자 하는 상수 $a$의 값은 다음과 같습니다.
$$a = 2$$
답
② 2
확인해보기
쌍곡선 $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ 위의 임의의 점에서의 접선이 직선 $y = 2x + 5$와 평행하다고 합니다. 이때 이 접선의 기울기는 얼마가 되어야 할까요? (두 직선이 평행할 조건과 기울기의 관계를 생각하며 스스로 답해 보세요!)