어떤 문제인가
이 문제는 타원의 성질과 기하학적 도형의 성질을 결합하여 삼각형의 둘레를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 직각삼각형과 피타고라스 정리: 점 $\text{A}$가 초점 $\text{F}$를 지나고 $x$축에 수직인 직선 위에 있으므로, 삼각형 $\text{AFF}'$은 직각삼각형이 됩니다. 이를 통해 두 초점 사이의 거리를 구할 수 있습니다.
- 타원의 초점 공식: 타원의 방정식 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$)에서 초점의 좌표를 $(c, 0)$, $(-c, 0)$이라 할 때, $c^2 = a^2 - b^2$이 성립합니다.
- 타원의 정의: 타원 위의 임의의 점 $\text{P}$에서 두 초점 $\text{F}$, $\text{F}'$에 이르는 거리의 합은 항상 일정하며, 그 값은 장축의 길이인 $2a$와 같습니다. 즉, $\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}} = 2a$입니다.
단계별 풀이
1단계: 직각삼각형 $\text{AFF}'$에서 두 초점 사이의 거리 구하기
점 $\text{F}$는 $x$축 위의 점이고, 직선 $\text{AF}$는 $x$축에 수직이므로 $\angle\text{AFF}' = 90^\circ$인 직각삼각형 $\text{AFF}'$이 만들어집니다.
이 직각삼각형에서 피타고라스 정리를 사용해 봅시다.
$$\overline{\text{AF}'}^2 = \overline{\text{AF}}^2 + \overline{\text{F}'\text{F}}^2$$
문제에서 주어진 값인 $\overline{\text{AF}'} = 5$, $\overline{\text{AF}} = 3$을 대입하면 다음과 같습니다.
$$5^2 = 3^2 + \overline{\text{F}'\text{F}}^2$$
$$25 = 9 + \overline{\text{F}'\text{F}}^2$$
$$\overline{\text{F}'\text{F}}^2 = 16$$
거리는 양수이므로, 두 초점 사이의 거리는 다음과 같습니다.
$$\overline{\text{F}'\text{F}} = 4$$
2단계: 타원의 성질을 이용하여 $a$의 값 구하기
타원의 두 초점 사이의 거리는 $2c$로 나타낼 수 있습니다. 1단계에서 구한 거리가 $4$이므로,
$$2c = 4 \implies c = 2$$
타원의 방정식이 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{5} = 1$이므로 $b^2 = 5$입니다.
타원에서 $c^2 = a^2 - b^2$ 관계식을 이용해 $a^2$을 구해봅시다.
$$2^2 = a^2 - 5$$
$$4 = a^2 - 5 \implies a^2 = 9$$
문제에서 $a > \sqrt{5}$인 상수라고 했으므로, $a = 3$이 됩니다.
3단계: 타원의 정의를 이용하여 $\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}}$ 구하기
점 $\text{P}$는 타원 위의 점입니다. 타원의 정의에 의해, 타원 위의 점 $\text{P}$에서 두 초점 $\text{F}'$, $\text{F}$까지의 거리의 합은 장축의 길이인 $2a$와 같습니다.
$$\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}} = 2a$$
2단계에서 구한 $a = 3$을 대입하면,
$$\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}} = 2 \times 3 = 6$$
4단계: 삼각형 $\text{PF}'\text{F}$의 둘레의 길이 구하기
우리가 구하고자 하는 삼각형 $\text{PF}'\text{F}$의 둘레의 길이는 세 변의 길이의 합입니다.
$$\text{삼각형의 둘레} = (\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}}) + \overline{\text{F}'\text{F}}$$
위에서 구한 값들을 대입해 볼까요?
- $\overline{\text{PF}'} + \overline{\text{PF}} = 6$ (3단계에서 구함)
- $\overline{\text{F}'\text{F}} = 4$ (1단계에서 구함)
따라서 삼각형의 둘레의 길이는 다음과 같습니다.
$$\text{둘레의 길이} = 6 + 4 = 10$$
답
⑤ $10$
확인해보기
점 $\text{P}$가 선분 $\text{AF}'$ 위에 있지 않고, 타원 위의 다른 어떤 점으로 움직이더라도 삼각형 $\text{PF}'\text{F}$의 둘레의 길이는 항상 일정할까요? 그 이유는 무엇일까요? (스스로 생각해 보세요!)