어떤 문제인가
이 문제는 벡터로 표현된 방정식을 해석하여 도형의 모양을 알아내고, 그 도형과 직선이 만나는 위치 관계를 이용해 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 벡터의 뺄셈과 크기: 두 위치벡터의 차가 나타내는 의미를 이해합니다.
- 벡터의 내적과 원의 방정식: 자기 자신과의 내적이 의미하는 바를 통해 원의 방정식을 유도합니다.
- 원과 직선의 위치 관계: 원과 직선이 오직 한 점에서 만날 조건(접할 조건)은 '원의 중심에서 직선까지의 거리 = 반지름'임을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 벡터 방정식을 우리가 아는 도형의 방정식으로 바꾸기
먼저 문제에 주어진 벡터 식을 살펴봅시다.
$$(\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OA}}) \cdot (\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OA}}) = 5$$
여기서 벡터의 뺄셈 성질을 이용하면, $\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OA}}$는 점 $\text{A}$에서 점 $\text{P}$로 가는 벡터인 $\overrightarrow{\text{AP}}$로 바꿀 수 있습니다.
$$\overrightarrow{\text{AP}} \cdot \overrightarrow{\text{AP}} = 5$$
어떤 벡터를 자기 자신과 내적하면, 그 결과는 '벡터 크기의 제곱'과 같습니다. 즉, $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ 입니다. 이를 적용하면 다음과 같습니다.
$$|\overrightarrow{\text{AP}}|^2 = 5$$
$$|\overrightarrow{\text{AP}}| = \sqrt{5}$$
이 식의 의미는 **"점 $\text{A}$에서 점 $\text{P}$까지의 거리가 항상 $\sqrt{5}$로 일정하다"는 뜻입니다. 특정 점으로부터 거리가 일정한 점들의 모임은 바로 원**입니다.
따라서 점 $\text{P}$가 나타내는 도형은 **중심이 $\text{A}(3, 0)$이고 반지름 $r = \sqrt{5}$인 원**입니다.
이 원의 방정식을 써보면 다음과 같습니다.
$$(x - 3)^2 + y^2 = 5$$
2단계: 원과 직선이 '오직 한 점'에서 만날 조건 생각하기
문제에서 이 원과 직선 $y = \frac{1}{2}x + k$가 오직 한 점에서 만난다고 했습니다. 원과 직선이 한 점에서 만난다는 것은 직선이 원에 접한다는 뜻입니다.
원이 직선과 접할 때의 기하학적 특징은 다음과 같습니다.
> **원의 중심에서 직선까지의 거리($d$) = 원의 반지름($r$)**
원의 중심은 $(3, 0)$이고, 반지름 $r = \sqrt{5}$입니다.
공식을 쓰기 편하게 직선의 방정식 $y = \frac{1}{2}x + k$의 양변에 $2$를 곱하고 한쪽으로 이항하여 일반형으로 정리해 봅시다.
$$2y = x + 2k \implies x - 2y + 2k = 0$$
3단계: 점과 직선 사이의 거리 공식을 이용해 $k$ 구하기
점 $(x_1, y_1)$에서 직선 $ax + by + c = 0$까지의 거리 공식 $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$을 사용합니다.
원의 중심 $(3, 0)$에서 직선 $x - 2y + 2k = 0$까지의 거리 $d$는 다음과 같습니다.
$$d = \frac{|1 \cdot 3 - 2 \cdot 0 + 2k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 + 2k|}{\sqrt{5}}$$
이 거리 $d$가 반지름 $r = \sqrt{5}$와 같아야 하므로 식을 세웁니다.
$$\frac{|3 + 2k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$$
양변에 $\sqrt{5}$를 곱하면:
$$|3 + 2k| = 5$$
절댓값을 풀면 두 가지 경우가 나옵니다.
- $3 + 2k = 5 \implies 2k = 2 \implies k = 1$
- $3 + 2k = -5 \implies 2k = -8 \implies k = -4$
문제에서 $k$는 양수라고 했으므로, 우리가 찾는 값은 $k = 1$입니다.
답
**③ $1$**
확인해보기
벡터 방정식 $(\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OB}}) \cdot (\overrightarrow{\text{OP}} - \overrightarrow{\text{OB}}) = 9$를 만족시키는 점 $\text{P}$가 나타내는 도형은 어떤 도형인가요? 이 도형의 중심의 좌표와 반지름을 말해보세요. (단, 점 $\text{B}$의 좌표는 $(1, 2)$입니다.)