어떤 문제인가
이 문제는 원기둥 안에서 정의된 도형의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구하는 공간도형 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 것입니다.
- 삼각형의 넓이 공식: 밑변과 높이를 이용해 공간에서의 위치 관계를 파악합니다.
- 삼수선의 정리: 3차원 공간에서의 수선과 2차원 평면에서의 수선 사이의 관계를 연결합니다.
- 원의 성질과 피타고라스 정리: 평면으로 투영된 원에서 현의 길이를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 삼각형 $ABC$의 높이 구하기
먼저 주어진 조건 (가)를 이용해 삼각형 $ABC$의 높이를 구해봅시다.
- 원기둥의 밑면의 반지름의 길이가 $4$이므로, 지름인 선분 $AB$의 길이는 다음과 같습니다.
$$AB = 2 \times 4 = 8$$
- 삼각형 $ABC$에서 선분 $AB$를 밑변으로 생각하면, 점 $C$에서 직선 $AB$에 내린 수선의 발을 $M$이라 할 때, 선분 $CM$이 이 삼각형의 높이가 됩니다.
- 삼각형 $ABC$의 넓이가 $16$이므로, 넓이 공식을 세워봅니다.
$$\text{넓이} = \frac{1}{2} \times AB \times CM = 16$$
$$\frac{1}{2} \times 8 \times CM = 16 \implies 4 \times CM = 16 \implies CM = 4$$
따라서 점 $C$에서 직선 $AB$까지의 거리는 $4$입니다.
2단계: 삼수선의 정리를 이용해 평면에서의 거리 구하기
이제 3차원 공간의 점 $C$를 아래쪽 밑면으로 정사영(수직으로 투영)하여 평면에서의 위치를 파악해 봅시다.
- 점 $C$에서 아래쪽 밑면에 내린 수선의 발을 $C'$이라고 합시다. 원기둥의 높이가 $3$이므로, 선분 $CC'$의 길이는 원기둥의 높이와 같습니다.
$$CC' = 3$$
- 이때, $CC'$은 아래쪽 밑면에 수직이고, $CM$은 직선 $AB$에 수직입니다.
- 삼수선의 정리에 의해, 아래쪽 밑면 위에서 $C'M$ 역시 직선 $AB$와 수직이 됩니다 ($C'M \perp AB$).
- 직각삼각형 $CC'M$ ($\angle CC'M = 90^\circ$)에 피타고라스 정리를 적용합니다.
$$CM^2 = CC'^2 + C'M^2$$
$$4^2 = 3^2 + C'M^2 \implies 16 = 9 + C'M^2 \implies C'M^2 = 7$$
$$C'M = \sqrt{7}$$
이것은 점 $C$의 아래쪽 밑면 위로의 투영점 $C'$에서 지름 $AB$까지의 거리가 $\sqrt{7}$임을 의미합니다.
3단계: 원의 성질을 이용해 선분 $CD$의 길이 구하기
조건 (나)에서 두 직선 $AB$와 $CD$가 서로 평행하다고 했습니다.
- $AB \parallel CD$이므로, 점 $D$의 아래쪽 밑면 위로의 투영점을 $D'$이라 하면, 사각형 $CDD'C'$은 직사각형이 됩니다. 따라서 우리가 구하고자 하는 선분 $CD$의 길이는 아래쪽 밑면에서의 현 $C'D'$의 길이와 같습니다.
$$CD = C'D'$$
- 또한, $AB \parallel C'D'$이므로 현 $C'D'$은 지름 $AB$와 평행하며, 이 두 평행선 사이의 거리가 바로 위에서 구한 $C'M = \sqrt{7}$입니다.
- 아래쪽 밑면(반지름 $R=4$)의 중심을 $O$라 하고, 중심 $O$에서 현 $C'D'$에 내린 수선의 발을 $N$이라 하면, $ON$의 길이는 두 평행선 사이의 거리인 $\sqrt{7}$과 같습니다.
$$ON = \sqrt{7}$$
- 직각삼각형 $ONC'$에서 $OC'$은 원의 반지름이므로 $OC' = 4$입니다. 피타고라스 정리를 적용하면,
$$OC'^2 = ON^2 + NC'^2$$
$$4^2 = (\sqrt{7})^2 + NC'^2 \implies 16 = 7 + NC'^2 \implies NC'^2 = 9$$
$$NC' = 3$$
- 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로, 현 $C'D'$의 길이는 $NC'$의 2배입니다.
$$C'D' = 2 \times NC' = 2 \times 3 = 6$$
따라서 선분 $CD$의 길이는 $6$입니다.
답
③ $6$
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
[질문]
만약 원기둥의 높이가 $4$이고, 밑면의 반지름이 $5$이며, 삼각형 $ABC$의 넓이가 $25$라면, 선분 $CD$의 길이는 얼마가 될까요? (단계별로 스스로 계산해 보세요!)