어떤 문제인가
이 문제는 두 포물선의 성질과 정의를 활용하여 주어진 조건을 만족하는 상수 $a$의 값을 찾는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 포물선의 정의: 포물선 위의 한 점에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리는 같습니다. ($\text{거리} = \text{준선까지의 거리}$)
- 포물선의 평행이동: 기본형 포물선 $y^2 = 4px$가 어떻게 평행이동했는지 파악하여 초점과 준선의 방정식을 구할 수 있어야 합니다.
- 이차방정식의 실근의 조건 (근의 분리): 제한된 범위($p \ge 1$)에서 이차방정식이 오직 하나의 실근을 가질 조건을 판별식과 그래프의 성질을 이용해 해결합니다.
단계별 풀이
1. 두 포물선의 초점과 준선 구하기
포물선의 정의를 사용하기 위해, 먼저 두 포물선 $C_1$과 $C_2$의 초점과 준선을 각각 구해봅시다.
- **포물선 $C_1 : y^2 = 4x$**
* 기본형 $y^2 = 4cx$에서 $c=1$이므로,
* 초점 $\text{F}_1 = (1, 0)$
* 준선 $L_1 : x = -1$
- **포물선 $C_2 : (y-3)^2 = 4p \{x - f(p)\}$**
* 이 포물선은 기본형 $y^2 = 4px$를 $x$축 방향으로 $f(p)$만큼, $y$축 방향으로 $3$만큼 평행이동한 것입니다.
* 따라서 초점 $\text{F}_2 = (f(p) + p, 3)$
* 준선 $L_2 : x = f(p) - p$
2. 포물선의 정의를 이용하여 조건 식 단순화하기
두 포물선의 교점 $\text{A}(x_0, y_0)$는 제1사분면 위의 점입니다. 점 $\text{A}$는 두 포물선 위에 동시에 존재하므로, 포물선의 정의를 적용할 수 있습니다.
- **점 $\text{A}$가 $C_1$ 위에 있으므로**:
점 $\text{A}$에서 초점 $\text{F}_1$까지의 거리는 준선 $L_1 : x = -1$까지의 거리와 같습니다.
$$\overline{\text{AF}_1} = x_0 - (-1) = x_0 + 1$$
- **점 $\text{A}$가 $C_2$ 위에 있으므로**:
점 $\text{A}$에서 초점 $\text{F}_2$까지의 거리는 준선 $L_2 : x = f(p) - p$까지의 거리와 같습니다.
$$\overline{\text{AF}_2} = x_0 - \{f(p) - p\} = x_0 - f(p) + p$$
문제에서 $\overline{\text{AF}_1} = \overline{\text{AF}_2}$라고 했으므로, 두 식을 같다고 놓습니다.
$$x_0 + 1 = x_0 - f(p) + p$$
양변에서 $x_0$를 지우면 아주 간단한 식이 나옵니다!
$$1 = -f(p) + p \implies f(p) - p + 1 = 0$$
이 식은 교점 $\text{A}$의 좌표와 상관없이, 두 포물선의 준선이 서로 일치할 때($-1 = f(p) - p$) 조건을 만족한다는 것을 의미합니다.
3. $p$에 대한 방정식 세우기
이제 $f(p) = (p+a)^2$를 위 식에 대입하여 $p$에 대한 방정식을 만들어 봅시다.
$$(p+a)^2 - p + 1 = 0$$
전개하여 정리하면 다음과 같습니다.
$$p^2 + 2ap + a^2 - p + 1 = 0$$
$$p^2 + (2a-1)p + a^2 + 1 = 0$$
4. $p \ge 1$에서 오직 하나의 실근을 가질 조건 구하기
우리는 $p \ge 1$인 범위에서 위 방정식의 실근 $p$가 오직 하나만 존재하도록 하는 $a$의 값을 찾아야 합니다.
편의상 $h(p) = p^2 + (2a-1)p + a^2 + 1$이라 합시다.
먼저 경계값인 $p=1$에서의 함수값 $h(1)$을 조사해 봅시다.
$$h(1) = 1^2 + (2a-1)(1) + a^2 + 1 = a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$$
실수 $a$에 대하여 $(a+1)^2 \ge 0$이므로, 항상 $h(1) \ge 0$입니다.
이차함수 $y = h(p)$의 그래프는 아래로 볼록한 포물선입니다. $h(1) \ge 0$이므로, 그래프가 $p$축과 만나는 두 근 사이에 $1$이 위치하는 경우(즉, 한 근은 $1$보다 작고 다른 한 근은 $1$보다 큰 경우, $h(1) < 0$)는 일어날 수 없습니다.
따라서 $p \ge 1$에서 오직 하나의 실근을 갖는 유일한 방법은 **방정식이 중근을 가지고, 그 중근이 $1$ 이상인 경우**뿐입니다.
- **조건 1: 판별식 $D = 0$ (중근을 가질 조건)**
$$D = (2a-1)^2 - 4(a^2 + 1) = 0$$
$$4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 - 4 = 0$$
$$-4a - 3 = 0 \implies a = -\frac{3}{4}$$
- **조건 2: 중근이 $p \ge 1$을 만족하는지 확인**
이차방정식의 축의 방정식(중근)은 다음과 같습니다.
$$p = -\frac{2a-1}{2} = -a + \frac{1}{2}$$
여기에 구한 $a = -\frac{3}{4}$을 대입하면,
$$p = -\left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{2}{4} = \frac{5}{4}$$
$\frac{5}{4} \ge 1$이므로 조건 $p \ge 1$을 만족합니다!
따라서 구하고자 하는 상수 $a$의 값은 $-\frac{3}{4}$입니다.
답
① $-\frac{3}{4}$
확인해보기
만약 $a = -1$이라면 방정식 $h(p) = 0$의 근은 어떻게 되며, 왜 이 값은 문제의 조건(오직 하나의 $p \ge 1$이 존재함)을 만족하지 못할까요? 스스로 계산해 보세요!