반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 공간도형과 정사영에 관한 고난도 기하 문제입니다. 3차원 공간에서의 문제를 복잡한 계산 없이, 단면화(2차원으로 단순화)와 기하학적 성질을 이용해 아주 쉽고 직관적으로 해결하는 방법을 배워봅시다.
어떤 문제인가
이 문제는 두 개의 구와 접평면, 그리고 평면 사이의 교선으로 만들어지는 원의 정사영 넓이를 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리가 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- **공간 도형의 단면화 ($zx$평면으로 자르기)**: 3차원 문제를 성질이 변하지 않는 선에서 2차원 평면 문제로 단순화합니다.
- 구와 평면의 위치 관계: 구의 중심에서 평면까지의 거리($d$)와 구의 반지름($R$)을 이용해 교선인 원의 반지름($r$)을 구합니다.
- 정사영과 이면각: 두 평면이 이루는 각(이선각/이면각)의 코사인 값($\cos\theta$)을 알면, 도형의 넓이에 이를 곱해 정사영의 넓이를 구할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: $zx$평면으로 단면화하여 평면 $\alpha$의 방정식 구하기
두 구 $S_1, S_2$의 중심은 모두 $z$축 위에 있고, 점 $\text{A}(\sqrt{5}, 0, 0)$는 $x$축 위에 있습니다. 또한 평면 $\alpha$는 $zx$평면에 수직이므로, 이 모든 상황을 **$zx$평면($y=0$)에 투영**해서 생각할 수 있습니다.
$zx$평면에서 두 구는 원이 되고, 평면 $\alpha$는 직선 $L$이 됩니다.
- 구 $S_1$의 단면(원): $x^2 + (z-2)^2 = 4$ (중심 $C_1(0, 2)$, 반지름 $R_1 = 2$)
- 점 $\text{A}$: $(\sqrt{5}, 0)$
점 $\text{A}$를 지나는 직선 $L$의 방정식을 $z = m(x - \sqrt{5})$ 즉, $mx - z - m\sqrt{5} = 0$이라 합시다.
이 직선이 원 $S_1$과 접하므로, 원의 중심 $(0,2)$에서 직선까지의 거리가 반지름인 $2$가 되어야 합니다.
$$\frac{|m(0) - 2 - m\sqrt{5}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$$
양변을 정리하고 제곱해 봅시다.
$$|2 + m\sqrt{5}| = 2\sqrt{m^2 + 1}$$
$$4 + 4\sqrt{5}m + 5m^2 = 4(m^2 + 1) = 4m^2 + 4$$
$$m^2 + 4\sqrt{5}m = 0$$
따라서 $m = 0$ 또는 $m = -4\sqrt{5}$입니다.
- $m=0$이면 접점의 $z$좌표가 $0$이 되므로, 문제 조건($z$좌표가 양수)에 의해 기울기는 **$m = -4\sqrt{5}$**가 됩니다.
따라서 평면 $\alpha$의 방정식은 다음과 같습니다.
$$-4\sqrt{5}(x - \sqrt{5}) - z = 0 \quad \Rightarrow \quad 4\sqrt{5}x + z - 20 = 0$$
2단계: 구 $S_2$와 평면 $\alpha$가 만나서 생기는 원 $C$의 반지름 구하기
구 $S_2$의 중심은 $C_2(0, 0, -7)$이고 반지름은 $R_2 = 7$입니다.
중심 $C_2$에서 평면 $\alpha: 4\sqrt{5}x + z - 20 = 0$까지의 거리 $d$를 구해봅시다.
$$d = \frac{|4\sqrt{5}(0) + (-7) - 20|}{\sqrt{(4\sqrt{5})^2 + 1^2}} = \frac{|-27|}{\sqrt{80+1}} = \frac{27}{9} = 3$$
구 $S_2$의 반지름이 $7$이고 중심에서 평면까지의 거리가 $3$이므로, 피타고라스 정리에 의해 평면 $\alpha$ 위에 생기는 원 $C$의 반지름 $r$은 다음과 같습니다.
$$r = \sqrt{R_2^2 - d^2} = \sqrt{7^2 - 3^2} = \sqrt{40}$$
따라서 원 $C$의 넓이 $S$는 다음과 같습니다.
$$S = \pi r^2 = 40\pi$$
3단계: 점 $\text{B}$의 기하학적 의미와 평면 $\beta$ 이해하기
- 원 $C$ 위의 점 중 $z$좌표가 최소인 점을 $\text{B}$라 했습니다.
- 평면 $\beta$는 구 $S_2$와 점 $\text{B}$에서 접하는 평면입니다. 접평면의 성질에 의해, 구의 중심 $C_2$와 접점 $\text{B}$를 이은 선분 $C_2\text{B}$는 평면 $\beta$에 수직입니다. 즉, **선분 $C_2\text{B}$는 평면 $\beta$의 법선벡터** 역할을 합니다.
마찬가지로, 구의 중심 $C_2$에서 평면 $\alpha$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면, **선분 $C_2H$는 평면 $\alpha$의 법선벡터** 역할을 합니다. (이때 $H$는 원 $C$의 중심입니다.)
4단계: 두 평면 $\alpha$와 $\beta$가 이루는 각 구하기
우리가 구하고자 하는 것은 원 $C$(평면 $\alpha$ 위의 도형)의 평면 $\beta$ 위로의 정사영입니다.
두 평면이 이루는 예각을 $\theta$라고 하면, 정사영의 넓이는 $S' = S \cos\theta$가 됩니다.
두 평면이 이루는 각 $\theta$는 두 평면의 법선벡터가 이루는 각과 같습니다.
즉, 법선벡터인 $\vec{C_2H}$와 $\vec{C_2\text{B}}$가 이루는 각이 바로 $\theta$입니다!
삼각형 $C_2H\text{B}$를 생각해 봅시다.
- $H$는 원 $C$의 중심이고 $\text{B}$는 원 $C$ 위의 점이므로, 선분 $HB$는 평면 $\alpha$ 위에 있습니다.
- $C_2H$는 평면 $\alpha$에 수직이므로, $\angle C_2H\text{B} = 90^\circ$인 직각삼각형이 만들어집니다.
- 이 직각삼각형에서 각 변의 길이는 다음과 같습니다.
* $C_2H = d = 3$
* $H\text{B} = r = \sqrt{40}$
* $C_2\text{B} = R_2 = 7$ (구의 반지름)
따라서 두 법선벡터가 이루는 각 $\theta$에 대해 코사인 값은 다음과 같이 아주 쉽게 구해집니다!
$$\cos\theta = \frac{C_2H}{C_2\text{B}} = \frac{3}{7}$$
5단계: 정사영의 넓이 계산하기
원 $C$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이를 $S'$이라 하면,
$$S' = S \cos\theta = 40\pi \times \frac{3}{7} = \frac{120}{7}\pi$$
따라서 $p = 7$, $q = 120$입니다. 이 둘은 서로소인 자연수이므로 조건을 만족합니다.
$$p + q = 7 + 120 = 127$$
답
$$127$$
확인해보기
질문: 만약 구 $S_2$의 반지름이 $7$이 아니라 $5$이고, 중심에서 평면 $\alpha$까지의 거리 $d$가 $3$으로 동일하다면, 원 $C$의 평면 $\beta$ 위로의 정사영의 넓이는 어떻게 변할지 식을 세워 스스로 계산해 보세요. (답은 구하지 않아도 좋습니다. 어떤 값이 변하는지 생각해 보세요!)