반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 기하와 벡터 단원에서 자주 출제되는 점의 자취(도형)와 벡터의 연산에 관한 문제입니다. 복잡해 보이지만, 조건을 하나씩 뜯어보면 아주 재미있는 기하학적 성질을 발견할 수 있어요. 선생님과 함께 단계별로 차근차근 해결해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 조건에 따라 움직이는 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 합벡터인 $\overrightarrow{\text{OY}} = \overrightarrow{\text{OP}} + \overrightarrow{\text{OQ}}$가 나타내는 도형의 길이를 구하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 원의 방정식과 자취: 주어진 벡터 방정식이 어떤 도형(원)을 나타내는지 해석하기
- 벡터의 내적과 영역: 내적의 부호 조건을 통해 점들이 존재할 수 있는 영역 제한하기
- 벡터의 합과 위치벡터: 두 벡터의 합을 두 점의 중점 벡터를 이용하여 기하학적으로 해석하기
단계별 풀이
1단계: 점 $\text{X}$가 나타내는 도형(영역) 파악하기
먼저 점 $\text{X}$가 어디에 존재할 수 있는지 첫 번째 조건식을 분석해 봅시다.
$$(|\overrightarrow{\text{AX}}| - 2)(|\overrightarrow{\text{BX}}| - 2) = 0$$
이 식은 두 값의 곱이 $0$이므로, 다음 두 경우 중 하나를 만족해야 합니다.
- $|\overrightarrow{\text{AX}}| = 2$ (점 $\text{A}(-2, 2)$를 중심으로 하고 반지름이 $2$인 원)
- 또는 $|\overrightarrow{\text{BX}}| = 2$ (점 $\text{B}(2, 2)$를 중심으로 하고 반지름이 $2$인 원)
여기에 두 번째 조건인 $|\overrightarrow{\text{OX}}| \ge 2$가 붙어 있습니다. 이는 점 $\text{X}$가 원점 $\text{O}$를 중심으로 하고 반지름이 $2$인 원의 외부(경계선 포함)에 있어야 함을 뜻합니다.
- **원 $\text{A}$와 원 $\text{O}$의 교점 구하기**:
원 $\text{A}$의 방정식은 $(x+2)^2 + (y-2)^2 = 4$이고, 원 $\text{O}$의 방정식은 $x^2 + y^2 = 4$입니다.
두 식을 연립하면 교점은 $(-2, 0)$과 $(0, 2)$가 됩니다.
따라서 원 $\text{A}$ 중에서 원 $\text{O}$의 내부(반지름 2 미만)에 들어가는 아랫부분(중심각 $90^\circ$ 분량)을 제외하면, 남은 부분은 **중심각이 $270^\circ$ ($3\pi/2$ 라디안)인 부채꼴의 호**가 됩니다.
- **원 $\text{B}$의 경우**:
대칭성에 의해 원 $\text{B}$에서도 교점 $(2, 0)$과 $(0, 2)$ 사이의 아랫부분이 제외되어, 역시 **중심각이 $270^\circ$인 호**가 남습니다.
즉, 점 $\text{X}$가 움직일 수 있는 도형은 $y$축을 기준으로 왼쪽의 원호(호 $\text{S}_\text{A}$)와 오른쪽의 원호(호 $\text{S}_\text{B}$) 두 부분으로 이루어져 있습니다. 두 호는 점 $(0, 2)$에서 만납니다.
2단계: 조건 (가)와 (나) 해석하기
이제 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$의 조건을 살펴봅시다.
- 조건 (가): $(\overrightarrow{\text{OP}} \cdot \vec{u})(\overrightarrow{\text{OQ}} \cdot \vec{u}) \ge 0$ ($\vec{u} = (1, 0)$)
$\vec{u} = (1, 0)$이므로, 임의의 벡터 $\overrightarrow{\text{OP}} = (x_\text{P}, y_\text{P})$에 대해 내적값은 $x$좌표인 $x_\text{P}$가 됩니다.
따라서 조건 (가)는 $x_\text{P} \cdot x_\text{Q} \ge 0$을 의미합니다.
즉, **$\text{P}$와 $\text{Q}$의 $x$좌표의 부호가 같아야 합니다.** (둘 다 $0$ 이상이거나, 둘 다 $0$ 이하)
이것은 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$가 동시에 왼쪽 호 $\text{S}_\text{A}$ 위에 있거나, 동시에 오른쪽 호 $\text{S}_\text{B}$ 위에 있어야 함을 뜻합니다.
- 조건 (나): $|\overrightarrow{\text{PQ}}| = 2$
$\text{P}$와 $\text{Q}$는 반지름이 $2$인 원 위의 점입니다. 그런데 두 점 사이의 거리인 현의 길이 $|\overrightarrow{\text{PQ}}|$가 반지름의 길이인 $2$와 같습니다.
원 중심(예를 들어 $\text{A}$)과 두 점 $\text{P}$, $\text{Q}$를 이으면 **한 변의 길이가 $2$인 정삼각형 $\triangle\text{APQ}$**가 만들어집니다!
따라서 두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$가 이루는 중심각 $\angle\text{PAQ}$는 항상 $60^\circ$ ($\pi/3$ 라디안)로 일정합니다.
3단계: 합벡터 $\overrightarrow{\text{OY}}$의 자취 구하기
이제 핵심인 $\overrightarrow{\text{OY}} = \overrightarrow{\text{OP}} + \overrightarrow{\text{OQ}}$를 분석해 봅시다.
두 점 $\text{P}, \text{Q}$가 왼쪽 원 $\text{A}$ 위에 있을 때를 기준으로 생각하겠습니다. (오른쪽 원 $\text{B}$는 대칭이므로 결과가 같습니다.)
위치벡터를 중심 $\text{A}$를 기준으로 분해해 표현해 봅시다.
$$\overrightarrow{\text{OP}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AP}}$$
$$\overrightarrow{\text{OQ}} = \overrightarrow{\text{OA}} + \overrightarrow{\text{AQ}}$$
두 식을 더하면 다음과 같습니다.
$$\overrightarrow{\text{OY}} = \overrightarrow{\text{OP}} + \overrightarrow{\text{OQ}} = 2\overrightarrow{\text{OA}} + (\overrightarrow{\text{AP}} + \overrightarrow{\text{AQ}})$$
여기서 선분 $\text{PQ}$의 중점을 $\text{M}$이라고 하면, $\overrightarrow{\text{AP}} + \overrightarrow{\text{AQ}} = 2\overrightarrow{\text{AM}}$이 성립합니다.
따라서,
$$\overrightarrow{\text{OY}} = 2\overrightarrow{\text{OA}} + 2\overrightarrow{\text{AM}}$$
이 식을 기하학적으로 해석해 볼까요?
- 새로운 원의 중심: 점 $\text{Y}$는 고정된 점 $2\overrightarrow{\text{OA}} = 2(-2, 2) = (-4, 4)$를 기준으로 벡터 $2\overrightarrow{\text{AM}}$만큼 이동한 점입니다.
- 반지름 계산: $\triangle\text{APQ}$는 한 변의 길이가 $2$인 정삼각형이므로, 높이에 해당하는 중점까지의 거리 $|\overrightarrow{\text{AM}}|$은 $2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$입니다.
따라서 우리가 구하는 벡터 $2\overrightarrow{\text{AM}}$의 길이는 항상 $2\sqrt{3}$으로 일정합니다.
즉, 점 $\text{Y}$는 점 $(-4, 4)$를 중심으로 하고 **반지름이 $2\sqrt{3}$인 원호**를 그리게 됩니다.
4단계: 점 $\text{Y}$가 그리는 도형의 길이 구하기
이제 점 $\text{Y}$가 그리는 원호의 중심각을 구해봅시다.
- 원래 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$가 움직일 수 있는 호 $\text{S}_\text{A}$의 중심각은 $270^\circ$였습니다.
- 두 점 $\text{P}$와 $\text{Q}$는 항상 $60^\circ$의 간격을 유지하며 이 호 위를 움직입니다.
- 이때 두 점의 가운데에 있는 중점 $\text{M}$의 방향벡터 $\overrightarrow{\text{AM}}$이 가질 수 있는 각도의 범위(중심각)는 어떻게 될까요?
양 끝에서 $30^\circ$씩 안쪽으로 제한되므로, 중점 $\text{M}$이 움직일 수 있는 범위의 중심각은 다음과 같습니다.
$$\text{중심각} = 270^\circ - 60^\circ = 210^\circ = \frac{7\pi}{6} \text{ (라디안)}$$
따라서 왼쪽 영역에서 점 $\text{Y}$가 나타내는 도형의 길이는 반지름이 $2\sqrt{3}$이고 중심각이 $\frac{7\pi}{6}$인 호의 길이입니다.
$$\text{호의 길이} = R\theta = 2\sqrt{3} \times \frac{7\pi}{6} = \frac{7\sqrt{3}\pi}{3}$$
오른쪽 영역(원 $\text{B}$ 쪽)에서도 대칭성에 의해 동일한 길이의 호가 만들어집니다.
두 원호의 중심은 각각 $(-4, 4)$와 $(4, 4)$이고 반지름은 $2\sqrt{3}$입니다. 두 중심 사이의 거리는 $8$인데, 반지름의 합은 $4\sqrt{3} \approx 6.93$이므로 두 도형은 서로 겹치지 않고 완전히 분리되어 있습니다.
따라서 점 $\text{Y}$가 나타내는 전체 도형의 길이는 이 두 호의 길이를 더한 값입니다.
$$\text{전체 길이} = 2 \times \frac{7\sqrt{3}\pi}{3} = \frac{14\sqrt{3}\pi}{3}$$
답
문제에서 구하고자 하는 도형의 길이가 $\frac{q}{p}\sqrt{3}\pi$이므로,
$$\frac{q}{p} = \frac{14}{3}$$
$p = 3$, $q = 14$ 이며, 두 수는 서로소인 자연수입니다.
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q = 3 + 14 = 17$$
확인해보기
배운 내용을 바탕으로 스스로 생각해보세요!
질문: 만약 조건 (나)에서 두 점 사이의 거리가 $|\overrightarrow{\text{PQ}}| = 2\sqrt{2}$로 바뀐다면, 점 $\text{Y}$가 그리는 원호의 반지름과 중심각은 각각 어떻게 변할까요? (답은 직접 구해보며 벡터의 기하학적 의미를 되새겨 보세요!)