어떤 문제인가
이 문제는 다항식의 거듭제곱을 전개했을 때, 특정 차수($x^4$)를 가진 항의 계수가 무엇인지 찾는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 떠올려야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 이항정리 (Binomial Theorem): 두 항의 합의 거듭제곱 $(a+b)^n$을 전개하는 공식입니다.
- 이항정리의 일반항: 전개식에서 각 항의 모양을 대표하는 식인 $\binom{n}{r} a^{n-r} b^r$을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 이항정리의 일반항 세우기
$(x^2+2)^6$을 일일이 6번 곱해서 전개하는 것은 너무 복잡하겠죠? 이럴 때 사용하는 치트키가 바로 이항정리의 일반항입니다.
$(a+b)^n$의 전개식에서 일반항은 다음과 같습니다.
$$\binom{n}{r} a^{n-r} b^r \quad (단, r = 0, 1, 2, \dots, n)$$
이 문제에 적용하기 위해 각 자리에 맞는 값을 대입해 봅시다.
- $a = x^2$
- $b = 2$
- $n = 6$
이 값들을 일반항 공식에 넣으면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$\binom{6}{r} (x^2)^{6-r} \cdot 2^r$$
지수법칙을 이용해 $x$가 있는 부분을 정리해 볼까요? $(x^2)^{6-r} = x^{2(6-r)} = x^{12-2r}$ 이므로, 일반항은 다음과 같이 정리됩니다.
$$\binom{6}{r} \cdot 2^r \cdot x^{12-2r}$$
2단계: $x^4$ 항이 되기 위한 $r$의 값 구하기
우리가 찾고 싶은 것은 $x^4$의 계수입니다.
따라서 일반항에서 $x$의 지수인 $12-2r$이 $4$가 되어야 합니다.
방정식을 세워 $r$을 구해봅시다.
$$12 - 2r = 4$$
$$2r = 8$$
$$r = 4$$
즉, $r=4$일 때 우리가 원하는 $x^4$ 항이 나옵니다.
3단계: $r=4$를 대입하여 계수 계산하기
이제 일반항의 계수 부분($\binom{6}{r} \cdot 2^r$)에 $r=4$를 대입하여 최종 계산을 해봅시다.
$$\binom{6}{4} \cdot 2^4$$
조합의 성질에 의해 $\binom{6}{4} = \binom{6}{2}$ 와 같습니다. 계산해 보면:
$$\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$
그리고 $2^4$은 다음과 같습니다.
$$2^4 = 16$$
따라서 $x^4$의 계수는 이 두 값을 곱한 것입니다.
$$15 \times 16 = 240$$
답
**① $240$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 동일한 다항식 $(x^2+2)^6$의 전개식에서 $x^8$의 계수는 얼마일까요? 위에서 배운 단계대로 차근차근 구해보세요!