어떤 문제인가
이 문제는 두 사건 $A$와 $B$의 합집합의 확률, 교집합의 확률, 그리고 조건부확률 사이의 관계가 주어졌을 때, 사건 $A$가 일어날 확률인 $\mathrm{P}(A)$를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 조건부확률의 정의: 사건 $B$가 일어났을 때 사건 $A$가 일어날 확률 $\mathrm{P}(A|B)$를 구하는 공식
- 확률의 덧셈정리: 두 사건의 합집합의 확률을 각각의 확률과 교집합의 확률로 나타내는 공식
단계별 풀이
1단계: 조건부확률의 정의를 이용해 $\mathrm{P}(A)$와 $\mathrm{P}(B)$의 관계 찾기
문제에서 $\mathrm{P}(A | B) = \mathrm{P}(B | A)$라고 주어졌습니다. 조건부확률의 정의를 이용해 이 식을 풀어 써봅시다.
조건부확률의 정의에 의해 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
$$\mathrm{P}(A | B) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)}$$
$$\mathrm{P}(B | A) = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$$
두 값이 서로 같으므로, 식을 세우면 다음과 같습니다.
$$\frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(B)} = \frac{\mathrm{P}(A \cap B)}{\mathrm{P}(A)}$$
문제에서 $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{4}$로 $0$이 아니기 때문에, 양변을 $\mathrm{P}(A \cap B)$로 나눌 수 있습니다. 양변을 나누면 다음과 같은 아주 중요한 관계식을 얻게 됩니다.
$$\frac{1}{\mathrm{P}(B)} = \frac{1}{\mathrm{P}(A)}$$
$$\therefore \mathrm{P}(A) = \mathrm{P}(B)$$
즉, 두 사건 $A$와 $B$가 일어날 확률은 서로 같습니다!
2단계: 확률의 덧셈정리 적용하기
이제 우리가 알고 있는 또 다른 공식인 확률의 덧셈정리를 사용할 차례입니다.
$$\mathrm{P}(A \cup B) = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(B) - \mathrm{P}(A \cap B)$$
이 공식에 문제에서 주어진 값들과 1단계에서 구한 관계식($\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A)$)을 대입해 봅시다.
- $\mathrm{P}(A \cup B) = 1$
- $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{4}$
- $\mathrm{P}(B) = \mathrm{P}(A)$
대입하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.
$$1 = \mathrm{P}(A) + \mathrm{P}(A) - \frac{1}{4}$$
3단계: 방정식 풀어서 $\mathrm{P}(A)$ 구하기
위에서 얻은 식을 정리하여 $\mathrm{P}(A)$의 값을 구해봅시다.
$$1 = 2\mathrm{P}(A) - \frac{1}{4}$$
우변의 $-\frac{1}{4}$을 좌변으로 이항합니다.
$$1 + \frac{1}{4} = 2\mathrm{P}(A)$$
$$\frac{5}{4} = 2\mathrm{P}(A)$$
양변을 $2$로 나누면 최종적으로 구하고자 하는 $\mathrm{P}(A)$의 값이 나옵니다.
$$\mathrm{P}(A) = \frac{5}{8}$$
답
③ $\frac{5}{8}$
확인해보기
만약 조건부확률의 관계식 $\mathrm{P}(A|B) = \mathrm{P}(B|A)$는 그대로 유지되면서, 합집합과 교집합의 확률이 각각 $\mathrm{P}(A \cup B) = \frac{7}{8}$, $\mathrm{P}(A \cap B) = \frac{1}{8}$로 바뀐다면, 이때 $\mathrm{P}(A)$의 값은 무엇이 될지 스스로 계산해 보세요!