어떤 문제인가
이 문제는 서로 다른 두 정규분포를 따르는 확률변수의 확률을 비교하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정규분포의 표준화: 서로 다른 평균과 표준편차를 가진 두 집단을 직접 비교하기 어렵기 때문에, 평균이 $0$이고 표준편차가 $1$인 **표준정규분포 $Z$**로 변환하는 과정이 필요합니다. 표준화 공식은 다음과 같습니다.
$$Z = \frac{X - m}{\sigma}$$ (단, $m$은 평균, $\sigma$는 표준편차)
- 표준정규분포곡선의 대칭성: 표준정규분포 곡선은 $Z=0$을 기준으로 좌우대칭입니다. 이 성질을 이용하면 서로 다른 구간의 확률(넓이)이 같아지는 조건을 쉽게 찾을 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 두 제품의 확률변수 정의하기
먼저, A 제품과 B 제품의 중량을 각각 확률변수 $X$와 $Y$로 놓겠습니다. 문제의 조건에 따라 두 변수의 분포를 기호로 나타내면 다음과 같습니다.
- A 제품의 중량 $X$: 평균이 $9$, 표준편차가 $0.4$이므로
$$X \sim N(9, 0.4^2)$$
- B 제품의 중량 $Y$: 평균이 $20$, 표준편차가 $1$이므로
$$Y \sim N(20, 1^2)$$
우리가 구해야 할 식은 $P(8.9 \le X \le 9.4) = P(19 \le Y \le k)$를 만족하는 $k$의 값입니다.
2단계: A 제품의 확률 표준화하기
A 제품의 중량 $X$가 $8.9$ 이상 $9.4$ 이하일 확률을 표준정규분포 $Z$로 변환해 봅시다. 표준화 공식 $Z = \frac{X - m}{\sigma}$에 $m=9$, $\sigma=0.4$를 대입합니다.
- $X = 8.9$ 일 때:
$$Z = \frac{8.9 - 9}{0.4} = \frac{-0.1}{0.4} = -0.25$$
- $X = 9.4$ 일 때:
$$Z = \frac{9.4 - 9}{0.4} = \frac{0.4}{0.4} = 1$$
따라서, A 제품의 확률은 다음과 같이 표준화됩니다.
$$P(8.9 \le X \le 9.4) = P(-0.25 \le Z \le 1)$$
3단계: B 제품의 확률 표준화하기
이번에는 B 제품의 중량 $Y$가 $19$ 이상 $k$ 이하일 확률을 표준화해 봅시다. $m=20$, $\sigma=1$을 대입합니다.
- $Y = 19$ 일 때:
$$Z = \frac{19 - 20}{1} = -1$$
- $Y = k$ 일 때:
$$Z = \frac{k - 20}{1} = k - 20$$
따라서, B 제품의 확률은 다음과 같이 표준화됩니다.
$$P(19 \le Y \le k) = P(-1 \le Z \le k - 20)$$
4단계: 대칭성을 이용하여 $k$ 구하기
문제에서 두 확률이 같다고 했으므로, 표준화한 두 식을 같다고 놓습니다.
$$P(-0.25 \le Z \le 1) = P(-1 \le Z \le k - 20)$$
표준정규분포 곡선은 $Z=0$을 기준으로 좌우대칭입니다.
왼쪽 식의 구간 $[-0.25, 1]$을 y축(즉, $Z=0$)을 기준으로 대칭이동 시켜볼까요?
부호를 반대로 바꾸고 좌우를 뒤집으면, 구간 $[-0.25, 1]$의 넓이는 구간 $[-1, 0.25]$의 넓이와 정확히 같습니다.
즉, 다음이 성립합니다.
$$P(-0.25 \le Z \le 1) = P(-1 \le Z \le 0.25)$$
이 식을 오른쪽 식인 $P(-1 \le Z \le k - 20)$과 비교해 보면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.
$$k - 20 = 0.25$$
따라서 $k$의 값은 다음과 같습니다.
$$k = 20.25$$
답
④ $20.25$
확인해보기
오늘 배운 표준정규분포의 대칭성을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> [질문]
> 표준정규분포 $Z$에서 $P(-2 \le Z \le 1.5)$와 같은 확률(넓이)을 갖는 구간을 대칭성을 이용하여 $P(a \le Z \le 2)$ 형태로 나타내려고 합니다. 이때 상수 $a$의 값은 얼마여야 할까요?