어떤 문제인가
이 문제는 7명의 학생이 원 모양의 탁자에 둘러앉을 때, 특정 조건(A가 B 또는 C와 이웃함)을 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 두 가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 원순열 (Circular Permutation): 원 모양으로 배열할 때는 회전했을 때 같은 모양이 나오는 것을 고려해야 합니다. 이를 쉽게 해결하기 위해 '한 사람의 자리를 고정하는 방법'을 사용할 거예요.
- 여사건의 확률: 'A가 B 또는 C와 이웃하는 사건'을 직접 구하는 것보다, 그 반대 사건인 'A가 B와도 이웃하지 않고, C와도 이웃하지 않는 사건'의 확률을 구해서 전체 확률 $1$에서 빼는 것이 훨씬 간단합니다.
단계별 풀이
1단계: 기준이 되는 A의 자리를 고정하기
원순열 문제를 풀 때 가장 좋은 출발점은 기준이 되는 사람을 먼저 앉히는 것입니다.
A를 원탁의 어느 한 자리에 먼저 앉혀 봅시다. 원탁은 회전하면 모두 같은 자리이므로, A가 어디에 앉든 경우의 수는 $1$가지입니다.
이제 A가 자리를 잡았으니, 남은 자리는 총 $6$개가 됩니다. A가 앉음으로써 이제 더 이상 회전 대칭은 존재하지 않고, 남은 $6$개의 자리는 서로 다른 자리가 됩니다.
2단계: 여사건 생각하기 (B와 C가 모두 A와 이웃하지 않을 확률 구하기)
우리가 구하려는 것은 "A가 B 또는 C와 이웃할 확률"입니다.
이것의 반대 상황(여사건)은 "B와 C 모두 A의 양옆 자리에 앉지 않는 상황"입니다. 이 확률을 먼저 구해봅시다.
- 전체 경우의 수: 남은 $6$개의 빈자리에 B와 C를 순서를 고려하여 앉히는 방법의 수입니다.
$$_{6}\mathrm{P}_{2} = 6 \times 5 = 30 \text{가지}$$
- 여사건의 경우의 수 (B, C가 A와 이웃하지 않는 경우):
A의 바로 양옆 자리($2$개)에는 B와 C가 앉을 수 없습니다.
따라서 B와 C는 양옆 자리를 제외한 남은 $4$개의 자리에만 앉아야 합니다.
남은 $4$개의 자리에 B와 C를 순서를 고려하여 앉히는 방법의 수입니다.
$$_{4}\mathrm{P}_{2} = 4 \times 3 = 12 \text{가지}$$
- 여사건의 확률:
따라서 B와 C가 모두 A와 이웃하지 않을 확률은 다음과 같습니다.
$$\frac{12}{30} = \frac{2}{5}$$
3단계: 최종 확률 구하기
우리가 구하고자 하는 확률은 전체 확률 $1$에서 여사건의 확률을 뺀 값입니다.
$$\text{구하는 확률} = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$$
답
**② $\frac{3}{5}$**
확인해보기
배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 점검해 볼까요?
> [질문]
> 이번에는 A, B를 포함한 총 5명의 학생이 원 모양의 탁자에 둘러앉는다고 합니다. 이때 A와 B가 서로 이웃하게 앉을 확률은 얼마일까요? (여사건을 쓰지 않고 직접 구해도 좋고, 여사건을 써도 좋습니다. 위에서 배운 '한 명 고정하기' 방법을 사용해 보세요!)