어떤 문제인가
이 문제는 이산확률변수의 확률분포표를 보고, 주어진 조건을 이용해서 미지수 $a$의 값을 구한 뒤 최종적으로 원하는 값을 계산하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **이산확률변수의 평균 $\mathrm{E}(X)$ 구하기**: 각 변수의 값과 그에 대응하는 확률을 곱해서 모두 더합니다.
- **제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$ 구하기**: 각 변수의 값을 제곱한 뒤, 대응하는 확률을 곱해서 모두 더합니다.
- **분산 $\mathrm{V}(X)$과 표준편차 $\sigma(X)$의 관계**: 분산은 '제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀 것'이며, 표준편차는 분산에 루트를 씌운 것입니다.
$$ \mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 $$
$$ \sigma(X) = \sqrt{\mathrm{V}(X)} $$
단계별 풀이
1단계: $\mathrm{E}(X)$와 $\mathrm{E}(X^2)$을 $a$에 대한 식으로 나타내기
먼저 확률분포표를 보고 평균 $\mathrm{E}(X)$와 제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$을 구해보겠습니다.
- **평균 $\mathrm{E}(X)$ 구하기**
$$ \mathrm{E}(X) = \left(0 \times \frac{1}{10}\right) + \left(1 \times \frac{1}{2}\right) + \left(a \times \frac{2}{5}\right) $$
$$ \mathrm{E}(X) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a $$
- **제곱의 평균 $\mathrm{E}(X^2)$ 구하기**
$$ \mathrm{E}(X^2) = \left(0^2 \times \frac{1}{10}\right) + \left(1^2 \times \frac{1}{2}\right) + \left(a^2 \times \frac{2}{5}\right) $$
$$ \mathrm{E}(X^2) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a^2 $$
2단계: 조건 $\sigma(X) = \mathrm{E}(X)$를 활용해 식 세우기
문제에서 표준편차와 평균이 같다고 했습니다. 양변을 제곱하면 분산과 평균의 제곱이 같다는 식을 얻을 수 있습니다.
$$ \{\sigma(X)\}^2 = \{\mathrm{E}(X)\}^2 \implies \mathrm{V}(X) = \{\mathrm{E}(X)\}^2 $$
분산 공식 $\mathrm{V}(X) = \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2$을 대입해 볼까요?
$$ \mathrm{E}(X^2) - \{\mathrm{E}(X)\}^2 = \{\mathrm{E}(X)\}^2 $$
이 식을 정리하면 다음과 같은 아주 유용한 관계식을 얻을 수 있습니다.
$$ \mathrm{E}(X^2) = 2\{\mathrm{E}(X)\}^2 $$
3단계: $a$의 값 구하기
이제 1단계에서 구한 식들을 2단계의 관계식에 대입하여 $a$에 대한 방정식을 풀어봅시다.
$$ \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a^2 = 2 \left( \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a \right)^2 $$
우변의 괄호 안을 먼저 전개해 보겠습니다.
$$ \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a^2 = 2 \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{5}a + \frac{4}{25}a^2 \right) $$
$$ \frac{1}{2} + \frac{2}{5}a^2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{5}a + \frac{8}{25}a^2 $$
양변에서 똑같이 있는 $\frac{1}{2}$을 지워줍니다.
$$ \frac{2}{5}a^2 = \frac{4}{5}a + \frac{8}{25}a^2 $$
분모를 없애기 위해 양변에 $25$를 곱해줍니다.
$$ 10a^2 = 20a + 8a^2 $$
한쪽으로 이항하여 정리하면,
$$ 2a^2 - 20a = 0 $$
$$ 2a(a - 10) = 0 $$
따라서 $a = 0$ 또는 $a = 10$입니다.
그런데 문제 조건에서 **$a > 1$이라고 했으므로, 우리가 찾는 값은 $a = 10$**입니다.
4단계: 최종 값 구하기
구한 $a = 10$을 대입하여 $\mathrm{E}(X)$와 $\mathrm{E}(X^2)$의 실제 값을 계산합니다.
- $$ \mathrm{E}(X) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5}(10) = \frac{1}{2} + 4 = 4.5 $$
- $$ \mathrm{E}(X^2) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5}(10^2) = \frac{1}{2} + 40 = 40.5 $$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$ \mathrm{E}(X^2) + \mathrm{E}(X) = 40.5 + 4.5 = 45 $$
답
⑤ $45$
확인해보기
확률변수 $X$에 상수를 더하거나 곱했을 때 평균과 표준편차가 어떻게 변하는지 기억하나요?
만약 새로운 확률변수 $Y$를 $Y = 2X + 3$이라고 정의한다면, $Y$의 평균 $\mathrm{E}(Y)$와 표준편차 $\sigma(Y)$는 원래 $X$의 평균 $\mathrm{E}(X)$, 표준편차 $\sigma(X)$와 어떤 관계가 있을지 식으로 나타내 보세요.