어떤 문제인가
이 문제는 $1$부터 $10$까지의 자연수 중에서 서로 다른 $3$개의 수를 뽑을 때, 다음 두 가지 조건을 동시에 만족할 확률을 구하는 문제입니다.
- **곱이 $5$의 배수이다: 세 수 중 적어도 하나는 $5$의 배수**($5$ 또는 $10$)여야 합니다.
- **합이 $3$의 배수이다**: 세 수의 합을 $3$으로 나눈 나머지가 $0$이어야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 우리는 **조합($_nC_r$)과 나머지에 따른 수의 분류(잉여류)** 개념을 사용할 것입니다.
단계별 풀이
1단계: 전체 경우의 수 구하기
먼저, $1$부터 $10$까지의 서로 다른 $10$개의 자연수 중에서 임의로 $3$개를 선택하는 전체 경우의 수를 구해봅시다. 순서는 상관없으므로 조합을 사용합니다.
$$n(S) = {}_{10}\mathrm{C}_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$
전체 경우의 수는 **$120$가지**입니다.
2단계: 3으로 나눈 나머지에 따라 수 분류하기
합이 $3$의 배수가 되는 조건을 쉽게 다루기 위해, $1$부터 $10$까지의 수를 $3$으로 나눈 나머지에 따라 세 그룹으로 나누어 봅시다.
- **$R_0$ (나머지가 $0$인 수):** $\{3, 6, 9\}$ (총 $3$개)
- **$R_1$ (나머지가 $1$인 수):** $\{1, 4, 7, 10\}$ (총 $4$개)
- **$R_2$ (나머지가 $2$인 수):** $\{2, 5, 8\}$ (총 $3$개)
여기서 곱이 $5$의 배수가 되게 만드는 핵심 숫자인 **$5$는 $R_2$에, $10$은 $R_1$에** 속해 있다는 점을 눈여겨보아야 합니다!
3단계: 조건에 맞는 경우의 수 구하기
곱이 $5$의 배수가 되려면 선택한 3개의 수에 $5$ 또는 $10$이 포함되어야 합니다. 중복해서 세는 것을 막기 위해 다음과 같이 세 가지 경우로 나누어 세어봅시다.
경우 1) $5$와 $10$을 모두 포함하는 경우
이미 두 수 $\{5, 10\}$을 뽑았으므로, 나머지 한 수 $x$만 더 뽑으면 됩니다.
- $5$는 나머지가 $2$이고, $10$은 나머지가 $1$입니다.
- 두 수의 나머지의 합은 $2 + 1 = 3$이므로, 이미 $3$의 배수입니다.
- 따라서 합이 $3$의 배수가 되려면, 새로 뽑는 수 $x$의 나머지가 $0$이어야 합니다. 즉, $x$는 $R_0 = \{3, 6, 9\}$ 중에서 뽑아야 합니다.
- 경우의 수: $R_0$의 $3$개 중 $1$개를 선택하므로,
$${}_3\mathrm{C}_1 = 3\text{가지}$$
경우 2) $5$는 포함하고, $10$은 포함하지 않는 경우
이미 $5$를 뽑았고 $10$은 사용할 수 없으므로, 남은 수 중에서 $2$개를 더 뽑아야 합니다.
- $5$는 나머지가 $2$입니다. 합이 $3$의 배수가 되려면 새로 뽑는 두 수의 나머지 합이 $1$ 또는 $4$가 되어야 전체 합의 나머지가 $2 + 1 = 3$(즉, $3$의 배수)이 됩니다.
- $10$을 제외하고 남은 그룹의 원소 수는 다음과 같습니다.
* $R_0' = \{3, 6, 9\}$ ($3$개)
* $R_1' = \{1, 4, 7\}$ ($3$개, $10$ 제외)
* $R_2' = \{2, 8\}$ ($2$개, $5$ 제외)
- 두 수의 나머지 합이 $1$이 되는 방법은 두 가지가 있습니다.
1. **$R_0'$에서 1개, $R_1'$에서 1개 뽑는 경우**:
$${}_3\mathrm{C}_1 \times {}_3\mathrm{C}_1 = 3 \times 3 = 9\text{가지}$$
2. **$R_2'$에서만 2개 뽑는 경우** (나머지 $2+2=4 \equiv 1$):
$${}_2\mathrm{C}_2 = 1\text{가지}$$
- 경우의 수: $9 + 1 = 10\text{가지}$
경우 3) $10$은 포함하고, $5$는 포함하지 않는 경우
이미 $10$을 뽑았고 $5$는 사용할 수 없으므로, 남은 수 중에서 $2$개를 더 뽑아야 합니다.
- $10$은 나머지가 $1$입니다. 합이 $3$의 배수가 되려면 새로 뽑는 두 수의 나머지 합이 $2$ 또는 $5$가 되어야 전체 합의 나머지가 $1 + 2 = 3$(즉, $3$의 배수)이 됩니다.
- $5$를 제외하고 남은 그룹의 원소 수는 다음과 같습니다.
* $R_0'' = \{3, 6, 9\}$ ($3$개)
* $R_1'' = \{1, 4, 7\}$ ($3$개, $10$ 제외)
* $R_2'' = \{2, 8\}$ ($2$개, $5$ 제외)
- 두 수의 나머지 합이 $2$가 되는 방법은 두 가지가 있습니다.
1. **$R_0''$에서 1개, $R_2''$에서 1개 뽑는 경우**:
$${}_3\mathrm{C}_1 \times {}_2\mathrm{C}_1 = 3 \times 2 = 6\text{가지}$$
2. **$R_1''$에서만 2개 뽑는 경우** (나머지 $1+1=2$):
$${}_3\mathrm{C}_2 = 3\text{가지}$$
- 경우의 수: $6 + 3 = 9\text{가지}$
4단계: 확률 계산하기
조건을 만족하는 총 경우의 수는 세 가지 경우의 합입니다.
$$\text{조건을 만족하는 경우의 수} = 3 + 10 + 9 = 22\text{가지}$$
따라서 구하고자 하는 확률은 다음과 같습니다.
$$\text{확률} = \frac{22}{120} = \frac{11}{60}$$
답
정답은 **③ $\frac{11}{60}$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 '나머지를 이용한 분류'를 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다.
> [질문]
> $1$부터 $6$까지의 자연수 중에서 임의로 서로 다른 $3$개의 수를 선택할 때, 선택된 세 수의 합이 $3$의 배수가 될 확률은 얼마일까요? (위에서 배운 $R_0, R_1, R_2$ 분류법을 사용해 보세요!)