어떤 문제인가
이 문제는 모집단에서 표본을 추출했을 때, **표본평균($\overline{X}$)**의 확률을 구하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 표본평균의 정의: 추출한 자료들의 합을 개수로 나눈 값입니다.
- 복원추출: 꺼낸 카드를 다시 넣고 뽑으므로, 매번 뽑을 때마다 나올 수 있는 숫자는 $1$부터 $6$까지 동일합니다.
- 중복조합 또는 경우의 수 나누기: 합이 특정 숫자가 되는 경우의 수를 빠짐없이 구하는 방법입니다.
단계별 풀이
1단계: 표본평균 $\overline{X}$의 식을 '합'의 형태로 바꾸기
네 번의 시행에서 나온 수를 각각 $X_1, X_2, X_3, X_4$라고 합시다. 이 네 수의 평균이 $\overline{X}$이므로 식을 다음과 같이 세울 수 있습니다.
$$\overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4}$$
문제에서 구하고자 하는 확률은 $\overline{X} = \frac{11}{4}$일 때입니다. 이 식에 대입해 볼까요?
$$\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{4} = \frac{11}{4}$$
양변에 $4$를 곱하면 아주 심플한 식이 나옵니다.
$$X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 11$$
즉, 이 문제는 **"네 카드의 숫자의 합이 $11$이 되는 확률"**을 구하는 문제로 바뀌게 됩니다!
2단계: 전체 경우의 수 구하기
카드를 한 장 뽑을 때마다 $1$부터 $6$까지의 자연수 중 하나가 나옵니다. 카드를 확인하고 다시 넣는 '복원추출'이므로, 매번 $6$가지의 선택지가 있습니다.
따라서 4번 반복하여 카드를 뽑는 전체 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{전체 경우의 수} = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 6^4 = 1296$$
3단계: 합이 11이 되는 경우의 수 구하기
이제 $X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 11$을 만족하는 경우의 수를 구해봅시다. 단, 각 카드에 적힌 수 $X_i$는 $1$ 이상 $6$ 이하의 자연수여야 합니다. ($1 \le X_i \le 6$)
이것은 고등학교 확률과 통계에서 배우는 중복조합을 이용하면 쉽게 풀 수 있습니다.
먼저, 각 변수가 $1$ 이상이므로 $Y_i = X_i - 1$이라고 치환해 봅시다. 그러면 $Y_i$는 $0$ 이상 $5$ 이하의 정수가 됩니다. ($0 \le Y_i \le 5$)
이 식을 원래 식에 대입하면,
$$(Y_1 + 1) + (Y_2 + 1) + (Y_3 + 1) + (Y_4 + 1) = 11$$
$$Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4 = 7$$
이 방정식을 만족하는 $0$ 이상의 정수해의 개수는 중복조합을 이용하여 구할 수 있습니다.
$$\text{전체 정수해의 개수} = {}_4\mathrm{H}_7 = {}_{4+7-1}\mathrm{C}_7 = {}_{10}\mathrm{C}_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$
하지만 여기서 주의할 점이 있습니다! $Y_i$는 최대 $5$까지만 가질 수 있습니다. 즉, $Y_i$ 중 어느 하나라도 $6$ 이상이 되는 경우(즉, 원래 카드 숫자가 $7$ 이상이 되는 불가능한 경우)는 제외해 주어야 합니다.
합이 $7$이므로, $Y_i$ 중 $6$ 이상이 되는 경우는 **단 한 개의 변수만 $6$ 이상**이 될 수 있습니다.
예를 들어, $Y_1 \ge 6$인 경우를 생각해 봅시다.
$Y_1 = Z_1 + 6$ ($Z_1 \ge 0$)으로 두면,
$$(Z_1 + 6) + Y_2 + Y_3 + Y_4 = 7 \implies Z_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4 = 1$$
이 방정식의 해의 개수는 ${}_4\mathrm{H}_1 = 4$가지입니다.
이처럼 $6$ 이상이 되는 변수가 $Y_1, Y_2, Y_3, Y_4$ 중 어떤 것인지 결정하는 경우가 $4$가지이므로, 제외해야 할 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{제외할 경우의 수} = 4 \times 4 = 16$$
따라서 조건을 만족하는 실제 경우의 수는 다음과 같습니다.
$$\text{조건을 만족하는 경우의 수} = 120 - 16 = 104$$
4단계: 확률 계산 및 약분하기
구하고자 하는 확률 $\mathrm{P}\left(\overline{X} = \frac{11}{4}\right)$는 다음과 같습니다.
$$\mathrm{P}\left(\overline{X} = \frac{11}{4}\right) = \frac{104}{1296}$$
이 분수를 기약분수로 만들기 위해 분모와 분자를 약분해 봅시다. 분모와 분자는 모두 $8$로 나누어떨어집니다.
$$\frac{104}{1296} = \frac{104 \div 8}{1296 \div 8} = \frac{13}{162}$$
$13$은 소수이고 $162$는 $13$으로 나누어떨어지지 않으므로, 이 분수는 더 이상 약분되지 않는 서로소 관계입니다.
따라서 $p = 162$, $q = 13$이 됩니다.
마지막으로 $p+q$의 값을 구하면 다음과 같습니다.
$$p + q = 162 + 13 = 175$$
답
$$175$$
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼 수 있는 문제입니다. 직접 풀어보세요!
> [질문]
> 똑같은 주머니(1부터 6까지의 카드가 들어있는 주머니)에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 확인하고 넣는 시행을 3번 반복합니다. 이때 확인한 세 개의 수의 평균 $\overline{X}$가 $\frac{5}{3}$가 될 확률을 구해보세요.