어떤 문제인가
이 문제는 $x$가 $0$으로 가까이 갈 때, 로그함수와 무리함수가 섞여 있는 분수식의 극한값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리가 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **$\frac{0}{0}$ 꼴의 극한**: $x \to 0$일 때 분모와 분자가 모두 $0$으로 수렴하는 부정형이므로, 식을 변형하여 $0$이 되는 요소를 약분해야 합니다.
- 분모의 유리화: 분모에 루트($\sqrt{\quad}$)가 있으므로, 합차 공식을 이용해 분모를 유리화합니다.
- 자연로그의 극한 공식: 가장 중요한 기본 공식인 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1$을 활용합니다.
단계별 풀이
1단계: 식의 형태 분석하기
먼저 주어진 식에 $x = 0$을 대입해 어떤 형태인지 확인해 봅시다.
- 분자: $\ln(0+1) = \ln(1) = 0$
- 분모: $\sqrt{0+4}-2 = 2-2 = 0$
분모와 분자가 모두 $0$으로 가는 $\frac{0}{0}$ 꼴입니다. 분모에 있는 루트를 없애주기 위해 유리화를 먼저 진행해야겠다고 방향을 잡을 수 있습니다.
2단계: 분모 유리화하기
분모의 켤레식인 $\sqrt{x+4}+2$를 분모와 분자에 똑같이 곱해줍니다.
$$\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x+4}-2} = \frac{\ln(x+1)(\sqrt{x+4}+2)}{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}$$
이제 분모를 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$을 이용해 정리해 봅시다.
$$\text{분모} = (\sqrt{x+4})^2 - 2^2 = (x+4) - 4 = x$$
따라서 식은 다음과 같이 변형됩니다.
$$\frac{\ln(x+1)(\sqrt{x+4}+2)}{x}$$
3단계: 극한값 계산하기
이제 변형된 식에 극한 기호 $\lim_{x \to 0}$을 다시 붙여서 계산해 봅시다. 식을 우리가 잘 아는 모양으로 나누어 써볼게요.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)(\sqrt{x+4}+2)}{x} = \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\ln(x+1)}{x} \cdot (\sqrt{x+4}+2) \right]$$
여기서 곱해진 두 부분의 극한을 각각 구합니다.
- 왼쪽 부분: 자연로그의 극한 공식에 의해 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1$$
- 오른쪽 부분: $x$에 $0$을 대입하면 됩니다.
$$\lim_{x \to 0} (\sqrt{x+4}+2) = \sqrt{4}+2 = 2+2 = 4$$
두 결과를 곱하면 최종 극한값을 얻을 수 있습니다.
$$\lim_{x \to 0} \left[ \frac{\ln(x+1)}{x} \cdot (\sqrt{x+4}+2) \right] = 1 \times 4 = 4$$
답
④ $4$
확인해보기
오늘 배운 유리화와 지수·로그함수의 극한 공식을 활용해 다음 문제를 스스로 풀어보세요!
> 질문: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{\sqrt{x+9}-3}$의 값은 무엇일까요?
> (힌트: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x} = 1$ 공식을 이용하고 분모를 유리화해 보세요.)