어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합의 극한(급수)을 정적분으로 바꾸어 계산하는 문제입니다. 고등학교 수학 미적분 과목에서 배우는 '정적분과 급수의 관계'를 이용하면 복잡해 보이는 극한 문제를 아주 간단한 넓이 계산 문제로 바꿀 수 있습니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정적분의 정의와 급수: $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f(x_k) \Delta x = \int_{a}^{b} f(x) dx$
- 치환하기: 식에서 어떤 부분을 $x$로 둘 것인지 결정하고, 그에 맞는 가로 길이 $\Delta x$를 찾아내는 것
- 무리함수의 적분: $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ 공식을 활용하는 것
단계별 풀이
1단계: 식을 정적분 공식에 맞게 변형하기
우리가 구해야 하는 식은 다음과 같습니다.
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} $$
이 식을 정적분으로 바꾸기 위해, 루트 안의 복잡한 식 전체를 $x$로 치환해 봅시다.
$$ x_k = 1 + \frac{3k}{n} $$
이렇게 두면, $k$가 $1$씩 커질 때마다 $x_k$는 $\frac{3}{n}$씩 커집니다. 즉, 직사각형들의 가로 길이인 $\Delta x$는 다음과 같아야 합니다.
$$ \Delta x = \frac{3}{n} $$
하지만 원래 식의 맨 뒤(또는 맨 앞)에는 $\frac{1}{n}$만 곱해져 있습니다. 이를 $\frac{3}{n}$으로 맞춰주기 위해 식을 다음과 같이 변형합니다. (분자에 $3$을 곱하고, 식 전체에 $\frac{1}{3}$을 곱해줍니다.)
$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} \cdot \left(\frac{3}{n} \cdot \frac{1}{3}\right) $$
$$ = \frac{1}{3} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1 + \frac{3k}{n}} \cdot \frac{3}{n} $$
2단계: 정적분 기호로 바꾸기 (범위와 함수 찾기)
이제 극한과 합의 기호($\lim \sum$)를 인테그랄($\int$)로 바꿀 차례입니다.
- 적분 구간 구하기:
* $k=1$일 때, $n \to \infty$이면 $x_1 = 1 + \frac{3}{n} \to 1$ (아래끝 $a = 1$)
* $k=n$일 때, $x_n = 1 + \frac{3n}{n} = 4$ (위끝 $b = 4$)
- **함수와 $dx$ 매칭하기**:
* $1 + \frac{3k}{n} \to x$
* $\frac{3}{n} \to dx$
따라서 식은 다음과 같은 정적분으로 바뀝니다.
$$ \frac{1}{3} \int_{1}^{4} \sqrt{x} dx $$
3단계: 정적분 계산하기
$\sqrt{x}$는 지수 법칙에 의해 $x^{\frac{1}{2}}$로 쓸 수 있습니다. 정적분을 계산해 봅시다.
$$ \frac{1}{3} \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} dx $$
$x^{\frac{1}{2}}$를 부정적분하면 $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$이므로,
$$ = \frac{1}{3} \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} $$
$$ = \frac{2}{9} \left[ x^{\frac{3}{2}} \right]_{1}^{4} $$
이제 위끝 $4$와 아래끝 $1$을 대입합니다.
- $4^{\frac{3}{2}} = (2^2)^{\frac{3}{2}} = 2^3 = 8$
- $1^{\frac{3}{2}} = 1$
따라서,
$$ = \frac{2}{9} (8 - 1) $$
$$ = \frac{2}{9} \times 7 = \frac{14}{9} $$
답
정답은 **③ $\frac{14}{9}$** 입니다.
확인해보기
이 문제에서는 $x_k = 1 + \frac{3k}{n}$으로 치환하여 풀었습니다.
만약 **$x_k = \frac{k}{n}$**으로 치환한다면, 정적분 식은 어떻게 세워질까요? 그리고 그 식을 계산했을 때도 같은 답이 나오는지 스스로 식을 세워 확인해 보세요!