어떤 문제인가
이 문제는 등비수열의 일반항과 무한등비수열의 극한 개념을 결합한 문제입니다. 극한값이 $3$이라는 구체적인 상수로 수렴하는 성질을 이용하여 등비수열의 공비와 첫째항을 찾아내야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 정리해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 등비수열의 일반항: 첫째항이 $a$, 공비가 $r$인 등비수열의 일반항은 $a_n = a \cdot r^{n-1}$입니다.
- **무한대 분의 무한대($\frac{\infty}{\infty}$) 꼴의 극한: 분모와 분자에서 밑의 절댓값이 가장 큰 항**이 전체 극한값을 결정합니다.
단계별 풀이
1단계: 분모를 정리하고 가장 빠르게 커지는 항 찾기
먼저 주어진 극한식의 분모를 보기 좋게 정리해 봅시다. 분모에 있는 지수법칙을 이용해서 밑을 통일해 주는 것이 좋습니다.
$$3^n + 2^{2n-1} = 3^n + 2^{-1} \cdot (2^2)^n = 3^n + \frac{1}{2} \cdot 4^n$$
이제 분모는 $3^n$과 $\frac{1}{2} \cdot 4^n$의 합으로 이루어져 있습니다. $n$이 무한히 커질 때($n \to \infty$), 밑이 $4$인 항이 밑이 $3$인 항보다 훨씬 빠르게 커집니다. 즉, 분모의 증가 속도를 지배하는 핵심 항은 바로 **$4^n$**입니다.
2단계: 등비수열 $a_n$의 공비($r$) 추론하기
주어진 극한 식을 다시 써보면 다음과 같습니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n + 1}{3^n + \frac{1}{2} \cdot 4^n} = 3$$
이 극한값이 $0$이 아닌 상수 $3$으로 수렴하려면, 분자인 $a_n + 1$도 분모에서 가장 큰 항인 $4^n$과 같은 속도로 커져야만 합니다.
만약 $a_n$의 공비 $r$의 절댓값이 $4$보다 작다면 극한값은 $0$이 될 것이고, $4$보다 크다면 무한대로 발산해 버릴 것입니다.
따라서 등비수열 $a_n$의 공비는 반드시 **$r = 4$**여야 합니다.
이에 따라 등비수열의 일반항을 첫째항 $a$를 사용하여 다음과 같이 놓을 수 있습니다.
$$a_n = a \cdot 4^{n-1} = \frac{a}{4} \cdot 4^n$$
3단계: 극한값을 이용하여 첫째항($a$) 구하기
이제 구한 $a_n$을 극한식에 대입하여 첫째항 $a$를 구해봅시다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a}{4} \cdot 4^n + 1}{3^n + \frac{1}{2} \cdot 4^n} = 3$$
분모와 분자를 분모에서 가장 밑이 큰 항인 $4^n$으로 각각 나누어 줍니다.
$$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{a}{4} + \frac{1}{4^n}}{\left(\frac{3}{4}\right)^n + \frac{1}{2}} = 3$$
$n \to \infty$일 때, $\frac{1}{4^n} \to 0$이고 $\left(\frac{3}{4}\right)^n \to 0$이 되므로 식은 다음과 같이 단순해집니다.
$$\frac{\frac{a}{4}}{\frac{1}{2}} = 3$$
좌변을 정리하면,
$$\frac{a}{4} \cdot 2 = 3 \implies \frac{a}{2} = 3 \implies a = 6$$
따라서 첫째항 $a = 6$입니다.
4단계: $a_2$의 값 계산하기
우리가 구하고자 하는 것은 수열의 두 번째 항인 $a_2$입니다.
일반항 $a_n = 6 \cdot 4^{n-1}$에 $n=2$를 대입하면 됩니다.
$$a_2 = 6 \cdot 4^{2-1} = 6 \cdot 4 = 24$$
답
정답은 **⑤ $24$** 입니다.
확인해보기
이 문제를 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 만약 문제에서 우변의 극한값이 $3$이 아니라 $0$이었다면, 등비수열 $a_n$의 공비 $r$의 범위(단, $r > 0$)는 어떻게 되어야 할까요? (첫째항 $a \neq 0$이라고 가정합니다.)