반갑습니다! 오늘도 즐겁게 수학을 공부해 봅시다. 오늘 풀어볼 문제는 입체도형의 부피를 정적분을 이용해 구하는 문제입니다. 겉보기에는 복잡해 보이지만, 개념을 하나씩 쪼개서 생각하면 아주 간단하게 해결할 수 있어요. 선생님과 함께 차근차근 시작해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 "단면의 넓이가 주어진 입체도형의 부피"를 구하는 문제입니다. 우리가 이 문제를 해결하기 위해 꼭 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 정적분과 부피의 관계: 어떤 입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이를 $A(x)$라고 할 때, 구간 $[a, b]$에서의 입체도형의 부피 $V$는 단면의 넓이를 촘촘히 더한(적분한) 값과 같습니다.
$$V = \int_{a}^{b} A(x) \, dx$$
- 정사각형의 넓이: 단면이 정사각형이므로, 한 변의 길이를 알면 넓이를 구할 수 있습니다. 한 변의 길이가 $y$라면 넓이는 $y^2$이 됩니다.
- 삼각함수의 부정적분: $\sec^2 x$와 $\tan x$의 적분법을 알고 있어야 합니다.
단계별 풀이
1단계: $x$에서의 단면의 넓이 $A(x)$ 구하기
입체도형을 $x$축에 수직인 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면은 정사각형이라고 했습니다.
그림을 보면 이 정사각형의 한 변의 길이는 곡선의 $y$값, 즉 $y = \sqrt{\sec^2 x + \tan x}$가 됩니다.
정사각형의 넓이 $A(x)$는 (한 변의 길이)$^2$이므로 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$A(x) = y^2 = \left(\sqrt{\sec^2 x + \tan x}\right)^2 = \sec^2 x + \tan x$$
루트가 사라지니 식이 훨씬 간단해졌지요?
2단계: 부피를 구하기 위한 정적분 식 세우기
이제 이 단면들을 $x = 0$부터 $x = \frac{\pi}{3}$까지 모두 더해줄 것입니다. 이것을 정적분 기호로 나타내면 다음과 같습니다.
$$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} A(x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sec^2 x + \tan x) \, dx$$
이 적분을 계산하기 위해 식을 두 부분으로 나누어 각각 적분해 봅시다.
$$V = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 x \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx$$
3단계: 각각의 삼각함수 적분하기
**첫 번째 부분: $\int \sec^2 x \, dx$**
우리는 미분을 배울 때 $(\tan x)' = \sec^2 x$가 된다는 것을 배웠습니다. 따라서 $\sec^2 x$의 부정적분은 $\tan x$입니다.
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sec^2 x \, dx = \Big[ \tan x \Big]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) - \tan(0)$$
삼각비의 값을 대입하면,
$$\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}, \quad \tan(0) = 0$$
이므로 첫 번째 부분의 값은 **$\sqrt{3}$**입니다.
**두 번째 부분: $\int \tan x \, dx$**
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$로 바꿀 수 있습니다. 분모인 $\cos x$를 미분하면 $-\sin x$가 되므로, 치환적분법(또는 공식)을 사용하면 다음과 같이 적분됩니다.
$$\int \tan x \, dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \, dx = -\ln|\cos x| + C$$
이제 위끝과 아래끝을 대입해 봅시다.
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan x \, dx = \Big[ -\ln|\cos x| \Big]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = -\ln\left(\cos\frac{\pi}{3}\right) - (-\ln(\cos 0))$$
값을 대입하면,
$$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}, \quad \cos(0) = 1$$
이므로,
$$-\ln\left(\frac{1}{2}\right) + \ln(1) = -\ln(2^{-1}) + 0 = \ln 2$$
따라서 두 번째 부분의 값은 **$\ln 2$**입니다.
4단계: 최종 부피 계산하기
두 결과를 더해주면 우리가 구하고자 하는 입체도형의 부피 $V$가 됩니다.
$$V = \sqrt{3} + \ln 2$$
답
따라서 구하는 입체도형의 부피는 **④ $\sqrt{3} + \ln 2$** 입니다.
확인해보기
오늘 배운 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 봅시다.
> 질문: 만약 이 문제에서 단면이 정사각형이 아니라, 한 변의 길이가 곡선의 $y$값인 '정삼각형'이었다면 입체도형의 부피는 원래 구한 부피의 몇 배가 될까요? (힌트: 한 변의 길이가 $a$인 정삼각형의 넓이 공식을 떠올려 보세요.)