어떤 문제인가
이 문제는 도형이 일정한 비율로 작아지며 무한히 반복되는 '도형의 닮음을 이용한 등비급수' 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 좌표평면 도입하기: 복잡한 기하 문제를 좌표를 이용해 대수적으로 쉽게 해결합니다.
- **첫 번째 넓이($a$) 구하기**: 첫 번째 색칠된 도형인 직각이등변삼각형 $\text{P}_1\text{Q}_1\text{A}_1$의 넓이를 구합니다.
- **공비($r$) 구하기**: 첫 번째 부채꼴과 두 번째 부채꼴의 닮음비를 구하고, 이를 통해 넓이의 비(공비)를 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 좌표평면 설정하고 점 $\text{P}_1$의 좌표 구하기
도형을 좌표평면에 올려놓으면 계산이 아주 편리해집니다.
부채꼴의 중심 $\text{O}$를 원점 $(0,0)$으로 잡고, 선분 $\text{OA}_1$을 $x$축, 선분 $\text{OB}_1$을 $y$축 위에 놓아봅시다.
- 반지름의 길이가 $1$이므로, 점 $\text{A}_1$의 좌표는 $(1, 0)$이 됩니다.
- 직사각형 $\text{OC}_1\text{P}_1\text{D}_1$에서 가로와 세로의 길이 비가 $\overline{\text{OC}_1} : \overline{\text{OD}_1} = 3 : 4$라고 했습니다.
- 따라서 점 $\text{P}_1$의 좌표를 임의의 양수 $k$를 사용하여 $\text{P}_1(3k, 4k)$라고 둘 수 있습니다.
점 $\text{P}_1$은 반지름의 길이가 $1$인 원(호 $\text{A}_1\text{B}_1$) 위의 점이므로, 원점으로부터의 거리가 $1$입니다.
$$\overline{\text{OP}_1}^2 = (3k)^2 + (4k)^2 = 1^2$$
$$25k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{5} \quad (k > 0)$$
따라서 점 $\text{P}_1$의 좌표는 다음과 같습니다.
$$\text{P}_1\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$$
2단계: 첫 번째 색칠된 도형의 넓이($a$) 구하기
첫 번째 색칠된 도형은 $\angle\text{P}_1\text{Q}_1\text{A}_1 = \frac{\pi}{2}$이고 $\overline{\text{P}_1\text{Q}_1} = \overline{\text{A}_1\text{Q}_1}$인 직각이등변삼각형입니다.
이 삼각형의 빗변은 선분 $\text{P}_1\text{A}_1$입니다. 두 점 $\text{P}_1\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$과 $\text{A}_1(1, 0)$ 사이의 거리를 구해봅시다.
$$\overline{\text{P}_1\text{A}_1}^2 = \left(1 - \frac{3}{5}\right)^2 + \left(0 - \frac{4}{5}\right)^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} + \frac{16}{25} = \frac{20}{25} = \frac{4}{5}$$
직각이등변삼각형에서 빗변의 길이가 $d$일 때, 넓이 $a$는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
$$a = \frac{1}{4}d^2$$
(왜냐하면 밑변이 $d$일 때 높이는 $\frac{1}{2}d$가 되기 때문입니다.)
따라서 첫 번째 도형의 넓이 $a$는 다음과 같습니다.
$$a = \frac{1}{4} \times \overline{\text{P}_1\text{A}_1}^2 = \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$
3단계: 점 $\text{Q}_1$의 좌표 구하기
두 번째 부채꼴의 반지름은 선분 $\text{OQ}_1$의 길이와 같습니다. 따라서 점 $\text{Q}_1$의 좌표를 알아내야 합니다.
선분 $\text{P}_1\text{A}_1$의 중점을 $\text{M}$이라 하면,
$$\text{M} = \left( \frac{\frac{3}{5} + 1}{2}, \frac{\frac{4}{5} + 0}{2} \right) = \left(\frac{4}{5}, \frac{2}{5}\right)$$
직각이등변삼각형의 성질에 의해, $\text{Q}_1$은 중점 $\text{M}$에서 선분 $\text{P}_1\text{A}_1$에 수직인 방향으로 $\frac{1}{2}\overline{\text{P}_1\text{A}_1}$만큼 떨어진 점입니다.
벡터 $\vec{\text{P}_1\text{A}_1} = \left(\frac{2}{5}, -\frac{4}{5}\right)$에 수직이고 크기가 절반인 벡터는 $\left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$ 또는 $\left(-\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)$입니다.
점 $\text{Q}_1$은 부채꼴 내부에 존재해야 하므로 원점에 더 가까운 방향이어야 합니다. 따라서 중점 $\text{M}$에서 빼주는 방향을 선택합니다.
$$\text{Q}_1 = \left(\frac{4}{5} - \frac{2}{5}, \frac{2}{5} - \frac{1}{5}\right) = \left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$$
4단계: 닮음비와 공비($r$) 구하기
두 번째 부채꼴의 반지름 $R_2$는 선분 $\text{OQ}_1$의 길이입니다.
$$R_2^2 = \overline{\text{OQ}_1}^2 = \left(\frac{2}{5}\right)^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = \frac{4}{25} + \frac{1}{25} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$$
첫 번째 부채꼴의 반지름 $R_1 = 1$이므로, 두 도형의 닮음비는 $1 : \sqrt{\frac{1}{5}}$입니다.
따라서 넓이의 비인 공비 $r$은 닮음비의 제곱이 됩니다.
$$r = \left(\sqrt{\frac{1}{5}}\right)^2 = \frac{1}{5}$$
5단계: 무한등비급수의 합 구하기
우리가 구하고자 하는 값은 첫째항이 $a = \frac{1}{5}$이고 공비가 $r = \frac{1}{5}$인 무한등비급수의 합입니다.
$$\lim_{n\to\infty} S_n = \frac{a}{1-r} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{4}$$
답
**② $\frac{1}{4}$**
확인해보기
직각이등변삼각형 $\text{P}_1\text{Q}_1\text{A}_1$에서 점 $\text{Q}_1$의 좌표를 구할 때, 왜 $\text{Q}_1 = \left(\frac{4}{5} + \frac{2}{5}, \frac{2}{5} + \frac{1}{5}\right) = \left(\frac{6}{5}, \frac{3}{5}\right)$는 답이 될 수 없을까요? 부채꼴의 반지름 길이와 관련지어 스스로 생각해보세요!