반갑습니다! 오늘 함께 풀어볼 문제는 삼각함수의 극한을 활용하는 기하 문제입니다. 복잡해 보이지만, 도형의 성질을 하나씩 파헤치다 보면 아주 아름답게 풀리는 문제랍니다. 선생님과 함께 차근차근 시작해 봅시다!
어떤 문제인가
이 문제는 주어진 도형에서 각 $\theta$에 따라 변화하는 두 영역의 넓이 $f(\theta)$와 $g(\theta)$를 구하고, 그 극한값을 계산하는 문제입니다.
문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 삼각함수를 이용한 선분의 길이 표현: 직각삼각형과 원의 성질을 이용해 필요한 선분의 길이를 $\theta$에 대한 식으로 나타냅니다.
- 도형의 평행 관계 파악: 복잡해 보이는 사각형 $CQRS$가 사실은 어떤 특별한 사각형(사다리꼴)인지 기하학적 성질을 통해 밝혀냅니다.
- 삼각함수의 극한 기본 공식: $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ 공식을 활용해 최종 극한값을 구합니다.
단계별 풀이
1단계: 삼각형 $POB$의 넓이 $f(\theta)$ 구하기
먼저 구하기 쉬운 $f(\theta)$부터 시작해 봅시다.
반원의 반지름의 길이는 $1$이므로 $OB = OP = 1$입니다.
원주각과 중심각의 성질에 의해, 호 $PB$에 대한 원주각이 $\angle PAB = \theta$이므로 중심각은 그 $2$배인 $\angle POB = 2\theta$가 됩니다.
삼각형의 넓이 공식($S = \frac{1}{2}ab\sin C$)을 사용하면,
$$f(\theta) = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot OP \cdot \sin(\angle POB) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin(2\theta) = \sin\theta\cos\theta$$
을 얻을 수 있습니다.
2단계: 사각형 $CQRS$의 비밀 밝히기 (평행선 찾기)
사각형 $CQRS$의 넓이 $g(\theta)$를 구하기 위해 이 사각형이 어떤 모양인지 분석해 봅시다.
- **$QC$의 길이 구하기**:
지름 $AB$에 대한 원주각은 $90^\circ$이므로 $\triangle APB$는 직각삼각형입니다. 따라서 $PB = AB\sin\theta = 2\sin\theta$입니다. 문제 조건에서 $QC = PB$라고 했으므로, $QC = 2\sin\theta$입니다.
- **$\angle QOC$ 구하기**:
반지름이 $1$인 원에서 현의 길이 $QC = 2\sin\theta$이므로, 이등변삼각형 $\triangle OCQ$에서 중심각 $\angle QOC = 2\theta$가 됩니다.
- **두 선분 $QC$와 $AP$의 평행 관계**:
- 선분 $AP$는 시초선 $AB$와 $\theta$의 각도를 이룹니다.
- 선분 $QC$를 보면, $OC$가 $AB$와 수직($90^\circ$)이고 $\angle QOC = 2\theta$이므로, 이등변삼각형 $\triangle OCQ$의 밑각인 $\angle OCQ$는 $\frac{\pi - 2\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \theta$입니다.
- $OC$가 수직선이므로, 선분 $QC$가 수평선($AB$ 방향)과 이루는 각도 역시 $\theta$가 됩니다.
따라서 **선분 $QC$와 선분 $AP$(즉, $SR$)는 서로 평행**합니다! ($QC \parallel SR$)
여기에 문제에서 $\angle CQR = \frac{\pi}{2}$라고 주었으므로, 사각형 $CQRS$는 **윗변이 $QC$, 아랫변이 $SR$, 높이가 $QR$인 직각사다리꼴**이 됩니다.
3단계: 사다리꼴 $CQRS$의 변의 길이 구하기
이제 사다리꼴의 넓이를 구하기 위해 필요한 길이들을 구합시다.
- **$CS$의 길이 구하기**:
직각삼각형 $\triangle AOS$에서 $AO = 1$이고 $\angle SAO = \theta$이므로, $OS = \tan\theta$입니다.
따라서 $CS = OC - OS = 1 - \tan\theta$입니다.
- **높이 $QR$과 아랫변 $SR$ 구하기**:
점 $S$에서 선분 $QC$에 내린 수선의 발을 $C'$이라 합시다. $QC \parallel SR$이므로 $C'S$의 길이는 사다리꼴의 높이 $QR$과 같습니다.
직각삼각형 $\triangle CC'S$에서 빗변은 $CS = 1 - \tan\theta$이고, 선분 $QC$가 수평선과 이루는 각이 $\theta$이므로 $\angle C'CS = \theta$입니다.
- 높이: $QR = C'S = CS\cos\theta = (1 - \tan\theta)\cos\theta = \cos\theta - \sin\theta$
- $CC'$의 길이: $CC' = CS\sin\theta = (1 - \tan\theta)\sin\theta = \sin\theta - \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$
- 아랫변: $SR = QC' = QC - CC' = 2\sin\theta - \left(\sin\theta - \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\right) = \sin\theta + \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$
4단계: $g(\theta)$ 식 세우기
사다리꼴의 넓이 공식 $S = \frac{1}{2}(\text{윗변} + \text{아랫변}) \times \text{높이}$를 적용합니다.
$$g(\theta) = \frac{1}{2} (QC + SR) \cdot QR$$
$$g(\theta) = \frac{1}{2} \left( 2\sin\theta + \sin\theta + \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \right) (\cos\theta - \sin\theta)$$
$$g(\theta) = \frac{1}{2} \sin\theta \left( 3 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \right) (\cos\theta - \sin\theta)$$
5단계: 극한값 계산하기
우리가 구해야 하는 식은 $\lim_{\theta\to 0+} \frac{3f(\theta) - 2g(\theta)}{\theta^2}$ 입니다. 분자를 먼저 정리해 봅시다.
$$3f(\theta) - 2g(\theta) = 3\sin\theta\cos\theta - \sin\theta \left( 3 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \right) (\cos\theta - \sin\theta)$$
공통인수 $\sin\theta$로 묶어줍니다:
$$= \sin\theta \left[ 3\cos\theta - \left( 3 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \right)(\cos\theta - \sin\theta) \right]$$
대괄호 안의 식을 전개하여 정리합니다:
$$\left( 3 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \right)(\cos\theta - \sin\theta) = 3\cos\theta - 3\sin\theta + \sin\theta - \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} = 3\cos\theta - 2\sin\theta - \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$$
이를 대입하면 대괄호 안은 다음과 같이 아주 간단해집니다:
$$3\cos\theta - \left( 3\cos\theta - 2\sin\theta - \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \right) = 2\sin\theta + \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$$
따라서 분자 전체 식은 다음과 같습니다:
$$3f(\theta) - 2g(\theta) = \sin\theta \left( 2\sin\theta + \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta} \right) = 2\sin^2\theta + \frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}$$
이제 $\theta^2$으로 나누고 극한을 취합니다:
$$\lim_{\theta\to 0+} \frac{2\sin^2\theta + \frac{\sin^3\theta}{\cos\theta}}{\theta^2} = \lim_{\theta\to 0+} \left[ 2\left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)^2 + \left(\frac{\sin\theta}{\theta}\right)^2 \cdot \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \right]$$
$\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1$ 이고, $\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{0}{1} = 0$ 이므로,
$$= 2(1)^2 + (1)^2 \cdot 0 = 2$$
답
정답은 ② ($2$) 입니다.
확인해보기
공부를 마친 후 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 본 풀이의 2단계에서 선분 $QC$와 선분 $AP$가 서로 평행하다는 것을 보였습니다. 만약 두 선분이 평행하지 않다면 사각형 $CQRS$의 넓이를 구하기 위해 어떤 다른 방법을 사용해야 했을까요? (답은 쓰지 않고 머릿속으로만 생각해보세요!)