어떤 문제인가
이 문제는 주어진 극한 조건과 함숫값을 이용해 지수함수 $f(x)$의 미정계수 $a, b, c$를 구한 뒤, 그 역함수 $g(x)$의 정적분 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수의 극한: $x \to -\infty$일 때 $e^x \to 0$으로 수렴한다는 성질을 이용해 미정계수를 결정합니다.
- 역함수의 정적분: 역함수를 직접 구하기 어려울 때는 치환적분과 부분적분을 활용하여 원래 함수 $f(x)$의 적분으로 변환하여 해결합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 이용해 $b$와 $c$ 구하기
조건 (가)의 극한 식을 먼저 살펴봅시다.
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)+6}{e^x} = 1$$
여기에 $f(x) = ae^{2x} + be^x + c$를 대입해 정리해 봅니다.
$$\lim_{x \to -\infty} \frac{ae^{2x} + be^x + c + 6}{e^x} = 1$$
분수를 각각 나누어 써 볼까요?
$$\lim_{x \to -\infty} \left( ae^x + b + \frac{c+6}{e^x} \right) = 1$$
여기서 $x \to -\infty$일 때, $e^x \to 0$입니다.
- 첫 번째 항 $ae^x \to 0$이 됩니다.
- 세 번째 항 $\frac{c+6}{e^x}$에서 분모 $e^x$는 $0$에 한없이 가까워집니다. 만약 분자인 $c+6$이 $0$이 아니라면, 이 항은 $\pm\infty$로 발산해 버려서 극한값이 $1$이 될 수 없습니다.
- 따라서 반드시 **$c+6 = 0$이어야 합니다. 즉, $c = -6$**입니다.
$c = -6$을 대입하면 세 번째 항이 사라지므로 극한 식은 다음과 같이 단순해집니다.
$$\lim_{x \to -\infty} (ae^x + b) = 0 + b = b$$
이 극한값이 $1$이므로, **$b = 1$**임을 알 수 있습니다.
지금까지 구한 값을 합치면 함수는 다음과 같습니다.
$$f(x) = ae^{2x} + e^x - 6$$
2단계: 조건 (나)를 이용해 $a$ 구하기
조건 (나)에서 $f(\ln 2) = 0$이라고 했습니다. 1단계에서 구한 식에 $x = \ln 2$를 대입해 봅시다. (이때 $e^{\ln 2} = 2$, $e^{2\ln 2} = (e^{\ln 2})^2 = 4$임을 기억하세요!)
$$f(\ln 2) = a \cdot e^{2\ln 2} + e^{\ln 2} - 6 = 0$$
$$a \cdot 4 + 2 - 6 = 0$$
$$4a - 4 = 0 \implies a = 1$$
이로써 함수 $f(x)$가 완벽하게 결정되었습니다!
$$f(x) = e^{2x} + e^x - 6$$
3단계: 역함수 $g(x)$의 정적분을 구하기 위한 준비 (치환적분)
우리가 구해야 할 값은 $\int_{0}^{14} g(x) dx$입니다. 역함수 $g(x)$를 직접 구하는 것은 복잡하므로, 치환적분을 이용해 원래 함수 $f(x)$의 적분으로 바꾸어 봅시다.
$g(x) = y$라고 하면, 역함수의 정의에 의해 $x = f(y)$가 됩니다.
양변을 $y$에 대해 미분하면 $dx = f'(y) dy$가 됩니다.
이제 적분 구간을 바꾸어 줍니다.
- $x = 0$일 때: $f(y) = 0$을 만족하는 $y$는 조건 (나)에 의해 $y = \ln 2$입니다.
- $x = 14$일 때: $f(y) = 14$를 만족하는 $y$를 구해야 합니다.
$$e^{2y} + e^y - 6 = 14 \implies e^{2y} + e^y - 20 = 0$$
$e^y = t$ ($t > 0$)로 치환하면,
$$t^2 + t - 20 = 0 \implies (t+5)(t-4) = 0$$
$t > 0$이므로 $t = 4$입니다. 즉, $e^y = 4 \implies y = \ln 4 = 2\ln 2$입니다.
따라서 적분 식을 $y$에 대한 식으로 바꾸면 다음과 같습니다.
$$\int_{0}^{14} g(x) dx = \int_{\ln 2}^{2\ln 2} y \cdot f'(y) dy$$
4단계: 부분적분을 이용해 계산하기
$\int y \cdot f'(y) dy$ 형태이므로 부분적분법($\int u v' = uv - \int u'v$)을 적용합니다.
$$\int_{\ln 2}^{2\ln 2} y \cdot f'(y) dy = \Big[ y \cdot f(y) \Big]_{\ln 2}^{2\ln 2} - \int_{\ln 2}^{2\ln 2} f(y) dy$$
위 식의 앞부분과 뒷부분을 각각 계산해 봅시다.
① 앞부분 계산:
$$\Big[ y \cdot f(y) \Big]_{\ln 2}^{2\ln 2} = \Big( 2\ln 2 \cdot f(2\ln 2) \Big) - \Big( \ln 2 \cdot f(\ln 2) \Big)$$
우리는 위에서 $f(2\ln 2) = 14$, $f(\ln 2) = 0$임을 구했으므로,
$$= (2\ln 2 \cdot 14) - (\ln 2 \cdot 0) = 28\ln 2$$
**② 뒷부분 계산 ($\int_{\ln 2}^{2\ln 2} f(y) dy$):**
$$\int_{\ln 2}^{2\ln 2} (e^{2y} + e^y - 6) dy = \left[ \frac{1}{2}e^{2y} + e^y - 6y \right]_{\ln 2}^{2\ln 2}$$
- $y = 2\ln 2$ 대입:
$$\frac{1}{2}e^{4\ln 2} + e^{2\ln 2} - 6(2\ln 2) = \frac{1}{2}(16) + 4 - 12\ln 2 = 12 - 12\ln 2$$
- $y = \ln 2$ 대입:
$$\frac{1}{2}e^{2\ln 2} + e^{\ln 2} - 6\ln 2 = \frac{1}{2}(4) + 2 - 6\ln 2 = 4 - 6\ln 2$$
두 값을 빼줍니다.
$$(12 - 12\ln 2) - (4 - 6\ln 2) = 8 - 6\ln 2$$
5단계: 최종 계산
이제 ①에서 ②를 빼서 최종 적분 값을 구합니다.
$$\int_{0}^{14} g(x) dx = 28\ln 2 - (8 - 6\ln 2) = -8 + 34\ln 2$$
문제에서 이 값이 $p + q\ln 2$라고 했으므로,
$$p = -8, \quad q = 34$$
따라서 우리가 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$p + q = -8 + 34 = 26$$
답
$$26$$
확인해보기
질문: 1단계 풀이 과정에서 만약 $c+6$이 $0$이 아니라 어떤 상수 $k$ ($k \neq 0$)였다면, $x \to -\infty$일 때 $\frac{c+6}{e^x}$의 극한값은 어떻게 되었을까요? 이 개념이 왜 미정계수를 결정하는 데 결정적인 역할을 하는지 스스로 설명해 보세요.