어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수와 지수·삼각함수가 결합된 합성함수의 극대·극소 조건과 방정식의 실근의 개수를 이용하여 삼차함수 $f(x)$를 구체적으로 결정하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 합성함수의 극대·극소: 겉함수와 속함수의 성질을 이용해 합성함수가 극값을 가질 조건을 분석합니다.
- 삼각방정식의 실근의 개수: 그래프의 개형을 그려 특정 범위에서 실근이 몇 개 존재하는지 추적합니다.
- 삼차함수의 비율 관계와 식 세우기: 극댓값과 극솟값을 가질 조건을 통해 삼차함수의 식을 완성합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가)를 통해 $f(0)$의 값과 $f'(0)$의 값 추론하기
먼저 합성함수 $h(x) = g(f(x)) = e^{\sin(\pi f(x))} - 1$이 $x=0$에서 극댓값 $0$을 갖는다는 조건의 의미를 파악해 봅시다.
- 함숫값 조건: $h(0) = 0$이어야 하므로,
$$h(0) = e^{\sin(\pi f(0))} - 1 = 0 \implies e^{\sin(\pi f(0))} = 1 \implies \sin(\pi f(0)) = 0$$
따라서 $f(0)$은 정수여야 합니다. $f(0) = n$ ($n$은 정수)이라고 놓겠습니다.
- 극대 조건: $x=0$ 근처에서 $h(x)$가 극댓값 $0$을 가지려면, $x=0$ 주변의 모든 $x$에 대해 $h(x) \le 0$이어야 합니다.
$$h(x) = e^{\sin(\pi f(x))} - 1 \le 0 \implies \sin(\pi f(x)) \le 0$$
즉, $x=0$ 근처에서 $\sin(\pi f(x))$의 값이 항상 $0$ 이하가 되어야 합니다.
- **$f'(0) = 0$인 이유**:
만약 $f'(0) \neq 0$이라면, $x=0$ 좌우에서 $f(x)$는 증가하거나 감소하므로 $f(x)$의 값은 정수 $n$보다 큰 값과 작은 값을 모두 가지게 됩니다. 이 경우 $\sin(\pi f(x))$의 부호가 변하게 되어 $h(x)$가 극댓값 $0$을 가질 수 없습니다. 따라서 반드시 **$f'(0) = 0$**이어야 합니다.
문제에서 $f'(3) = 0$이라고 했으므로, 최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 $f(x)$는 $x=0$에서 극대, $x=3$에서 극소를 가집니다.
- **$f(0)$이 짝수인 이유**:
$f(x)$는 $x=0$에서 극대이므로, $x=0$ 근처에서 $f(x) \le f(0) = n$입니다.
이때 $\sin(\pi f(x)) \le 0$을 만족하려면, $y \le n$인 영역(단, $y$는 $n$에 매우 가까움)에서 $\sin(\pi y) \le 0$이어야 합니다.
$\sin$ 그래프를 생각해보면, 정수 $n$의 왼쪽(즉, $n$보다 작은 쪽)에서 함숫값이 음수이려면 **$n$은 짝수**여야 합니다. (예를 들어 $n=0$일 때, $y < 0$이면 $\sin(\pi y) < 0$이 성립합니다. 반면 $n=1$이면 $y < 1$일 때 $\sin(\pi y) > 0$이 되어 모순입니다.)
따라서 **$f(0) = n$은 짝수**입니다.
2단계: 조건 (나)를 통해 짝수 $n$의 값 결정하기
조건 (나)에서 열린구간 $(0, 3)$에서 $h(x) = 1$의 서로 다른 실근의 개수가 $7$이라고 했습니다.
- 방정식 변형:
$$h(x) = 1 \implies e^{\sin(\pi f(x))} - 1 = 1 \implies e^{\sin(\pi f(x))} = 2 \implies \sin(\pi f(x)) = \ln 2$$
여기서 $0 < \ln 2 < 1$입니다.
- **$f(x)$의 범위**:
$x$가 $0$에서 $3$으로 움직일 때, 삼차함수 $f(x)$는 극댓값 $f(0) = n$에서 극솟값 $f(3) = \frac{1}{2}$까지 일대일로 감소합니다.
따라서 $x \in (0, 3)$일 때, $t = f(x)$의 범위는 $(\frac{1}{2}, n)$이 됩니다.
즉, $h(x) = 1$의 실근의 개수는 구간 $(\frac{1}{2}, n)$에서 **$\sin(\pi t) = \ln 2$를 만족하는 $t$의 개수**와 같습니다.
- 실근 개수 세기:
$\theta = \pi t$로 치환하면, $t \in (\frac{1}{2}, n)$이므로 $\theta \in (\frac{\pi}{2}, n\pi)$입니다.
이 범위에서 $\sin \theta = \ln 2$ (단, $0 < \ln 2 < 1$)의 실근 개수를 세어봅시다.
* $\theta \in (\frac{\pi}{2}, \pi]$ : 실근 $1$개
* $\theta \in (\pi, 2\pi]$ : 실근 $0$개 (사인값이 음수이므로)
* $\theta \in (2\pi, 3\pi]$ : 실근 $2$개
* $\theta \in (3\pi, 4\pi]$ : 실근 $0$개
* ...
* $\theta \in (2k\pi, (2k+1)\pi]$ : 실근 $2$개
* $\theta \in ((2k+1)\pi, (2k+2)\pi]$ : 실근 $0$개
이 규칙을 바탕으로 짝수 $n$에 따른 실근의 총 개수를 누적해 봅시다.
* $n=2$ ($\theta \in (\frac{\pi}{2}, 2\pi]$) : $1 + 0 = 1$개
* $n=4$ ($\theta \in (\frac{\pi}{2}, 4\pi]$) : $1 + 0 + 2 + 0 = 3$개
* $n=6$ ($\theta \in (\frac{\pi}{2}, 6\pi]$) : $3 + 2 + 0 = 5$개
* $n=8$ ($\theta \in (\frac{\pi}{2}, 8\pi]$) : $5 + 2 + 0 = 7$개
실근의 개수가 정확히 $7$개가 되려면 **$n = 8$**이어야 합니다.
따라서 **$f(0) = 8$**입니다.
3단계: 삼차함수 $f(x)$의 식 구하기
지금까지 알아낸 정보를 종합해 봅시다.
- $f'(0) = 0$, $f'(3) = 0$
- $f(0) = 8$ (극댓값)
- $f(3) = \frac{1}{2}$ (극솟값)
삼차함수의 도함수 $f'(x)$는 $x=0$과 $x=3$을 근으로 가지므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. (최고차항의 계수를 $a > 0$이라 하면)
$$f'(x) = 3ax(x-3) = 3ax^2 - 9ax$$
이를 적분하면,
$$f(x) = ax^3 - \frac{9}{2}ax^2 + C$$
$f(0) = 8$이므로 적분상수 $C = 8$입니다.
$$f(x) = ax^3 - \frac{9}{2}ax^2 + 8$$
이제 $f(3) = \frac{1}{2}$을 대입하여 $a$를 구합니다.
$$f(3) = a(27) - \frac{9}{2}a(9) + 8 = \frac{1}{2}$$
$$27a - \frac{81}{2}a = \frac{1}{2} - 8$$
$$-\frac{27}{2}a = -\frac{15}{2}$$
$$27a = 15 \implies a = \frac{15}{27} = \frac{5}{9}$$
따라서 구하고자 하는 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = \frac{5}{9}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 8$$
4단계: $f(2)$ 계산 및 최종 답 구하기
이제 $x=2$를 대입합니다.
$$f(2) = \frac{5}{9}(8) - \frac{5}{2}(4) + 8$$
$$f(2) = \frac{40}{9} - 10 + 8 = \frac{40}{9} - 2 = \frac{22}{9}$$
따라서 $p = 9$, $q = 22$이며, 두 수는 서로소인 자연수입니다.
우리가 구하는 값은 $p+q$이므로,
$$p+q = 9 + 22 = 31$$
답
$$31$$
확인해보기
만약 조건 (가)에서 합성함수 $h(x)$가 $x=0$에서 극댓값 $0$이 아니라 **극솟값 $0$**을 갖는다고 했다면, $f(0)$은 홀수여야 할까요, 짝수여야 할까요? 그 이유를 스스로 설명해 보세요.