어떤 문제인가
이 문제는 복잡해 보이는 지수식을 지수법칙과 곱셈 공식을 이용하여 간단히 정리하는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 밑 통일하기: $4$를 $2^2$으로 바꾸어 밑을 $2$로 통일합니다.
- 지수법칙:
- 나눗셈: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
- 거듭제곱의 거듭제곱: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$
- 합차 공식: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$
단계별 풀이
1단계: 괄호 안의 분수 식을 밑이 $2$인 지수로 정리하기
괄호 안의 분수 $\frac{4}{2^{\sqrt{2}}}$를 먼저 정리해 봅시다. 분자인 $4$는 $2^2$으로 쓸 수 있습니다.
$$\frac{4}{2^{\sqrt{2}}} = \frac{2^2}{2^{\sqrt{2}}}$$
밑이 같은 두 지수의 나눗셈은 지수끼리의 뺄셈과 같습니다 ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$). 따라서 다음과 같이 정리됩니다.
$$\frac{2^2}{2^{\sqrt{2}}} = 2^{2-\sqrt{2}}$$
2단계: 전체 식에 지수법칙 적용하기
이제 원래 식에 1단계에서 구한 값을 대입해 봅시다.
$$\left( \frac{4}{2^{\sqrt{2}}} \right)^{2+\sqrt{2}} = \left( 2^{2-\sqrt{2}} \right)^{2+\sqrt{2}}$$
거듭제곱의 거듭제곱은 두 지수를 서로 곱하는 것과 같습니다 ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$). 따라서 지수 부분을 곱해줍니다.
$$2^{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}$$
3단계: 지수 부분 계산하기 (합차 공식)
지수에 있는 $(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})$를 계산해 봅시다. 이 식은 고등학교 수학에서 자주 쓰이는 곱셈 공식인 합차 공식 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$을 사용할 수 있는 형태입니다.
$a=2$, $b=\sqrt{2}$라고 생각하면:
$$(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2$$
$$= 4 - 2 = 2$$
4단계: 최종 값 구하기
지수 부분이 $2$로 간단해졌으므로, 최종 식은 다음과 같습니다.
$$2^2 = 4$$
답
⑤ $4$
확인해보기
오늘 배운 방법을 적용해서 다음 문제를 스스로 풀어보세요. (답은 직접 구해보세요!)
> 질문: $\left( \frac{9}{3^{\sqrt{3}}} \right)^{2+\sqrt{3}}$의 값은 무엇일까요?