어떤 문제인가
이 문제는 두 곡선으로 둘러싸인 두 영역의 넓이 $A$와 $B$가 서로 같을 때, 미지수 $k$의 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념 2가지는 다음과 같습니다.
- 두 곡선 사이의 넓이: 구간 $[a, b]$에서 두 함수 $f(x)$와 $g(x)$로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$로 구합니다. 즉, '위에 있는 식'에서 '아래에 있는 식'을 빼서 정적분합니다.
- 정적분의 성질 (넓이가 같을 때의 비법): 두 영역의 넓이가 같고, 두 곡선의 위아래 위치 관계가 교점을 기준으로 바뀐다면, **교점을 구하지 않고도 시작점부터 끝점까지 한 번에 정적분한 값이 $0$이 된다**는 성질을 이용할 수 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 넓이 $A$와 $B$를 정적분 식으로 나타내기
두 곡선을 각각 $f(x) = x^3 + x^2$, $g(x) = -x^2 + k$라고 해봅시다.
그림을 보면 $y$축($x=0$)부터 두 곡선의 교점(이 값을 $x = \alpha$라고 합시다)까지는 위로 볼록한 이차함수 $g(x)$가 삼차함수 $f(x)$보다 위에 있습니다.
그리고 교점 $x = \alpha$부터 $x=2$까지는 삼차함수 $f(x)$가 이차함수 $g(x)$보다 위에 있습니다.
따라서 두 영역의 넓이 $A$와 $B$는 다음과 같이 정적분으로 쓸 수 있습니다.
$$A = \int_{0}^{\alpha} \{g(x) - f(x)\} dx$$
$$B = \int_{\alpha}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx$$
2단계: $A = B$라는 조건 활용하여 식 단순화하기
문제에서 $A = B$라고 했으므로 두 식을 같다고 놓습니다.
$$\int_{0}^{\alpha} \{g(x) - f(x)\} dx = \int_{\alpha}^{2} \{f(x) - g(x)\} dx$$
우변의 피적분 함수에서 마이너스($-$) 부호를 앞으로 빼내어 식을 정리해 볼까요?
$$\int_{0}^{\alpha} \{g(x) - f(x)\} dx = -\int_{\alpha}^{2} \{g(x) - f(x)\} dx$$
우변에 있는 항을 좌변으로 이항하면 다음과 같이 아주 멋진 식이 만들어집니다!
$$\int_{0}^{\alpha} \{g(x) - f(x)\} dx + \int_{\alpha}^{2} \{g(x) - f(x)\} dx = 0$$
정적분의 성질에 의해, 적분 구간이 $0$에서 $\alpha$까지, 그리고 이어서 $\alpha$에서 $2$까지 연결되므로 하나로 합칠 수 있습니다.
$$\int_{0}^{2} \{g(x) - f(x)\} dx = 0$$
이 식 덕분에 우리는 복잡한 교점 $\alpha$를 직접 구하지 않고도 문제를 해결할 수 있게 되었습니다!
3단계: 정적분 계산하고 $k$ 구하기
이제 실제 식을 대입하여 정적분을 계산해 봅시다.
$$g(x) - f(x) = (-x^2 + k) - (x^3 + x^2) = -x^3 - 2x^2 + k$$
이 식을 $0$부터 $2$까지 적분합니다.
$$\int_{0}^{2} (-x^3 - 2x^2 + k) dx = 0$$
부정적분을 구하면 다음과 같습니다.
$$\left[ -\frac{1}{4}x^4 - \frac{2}{3}x^3 + kx \right]_{0}^{2} = 0$$
위끝 $2$와 아래끝 $0$을 대입합니다.
$$\left( -\frac{1}{4}(2)^4 - \frac{2}{3}(2)^3 + k(2) \right) - 0 = 0$$
$$\left( -4 - \frac{16}{3} + 2k \right) = 0$$
상수항을 통분하여 계산합니다.
$$-4 - \frac{16}{3} = -\frac{12}{3} - \frac{16}{3} = -\frac{28}{3}$$
따라서 식은 다음과 같이 정리됩니다.
$$-\frac{28}{3} + 2k = 0$$
$$2k = \frac{28}{3}$$
$$k = \frac{14}{3}$$
문제에서 단서로 준 $4 < k < 5$ 범위에 $k = \frac{14}{3} \approx 4.67$이 알맞게 들어가는 것도 확인할 수 있습니다.
답
**④ $\frac{14}{3}$**
확인해보기
공부한 내용을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요!
> 질문: 두 곡선 $y=f(x)$와 $y=g(x)$가 $x=1$에서 만나고, 구간 $[0, 1]$에서는 $f(x) \ge g(x)$, 구간 $[1, 3]$에서는 $g(x) \ge f(x)$입니다. 두 곡선과 두 직선 $x=0, x=1$로 둘러싸인 넓이를 $S_1$, 두 곡선과 두 직선 $x=1, x=3$으로 둘러싸인 넓이를 $S_2$라고 할 때, $S_1 = S_2$를 만족하는 정적분 식을 단 하나의 등식(우변이 $0$인 식)으로 나타내면 어떻게 될까요?