어떤 문제인가
이 문제는 원에 내접하는 사각형의 성질과 삼각형의 기하학적 성질을 이용하여 외접원의 반지름을 구하는 문제입니다. 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 원주각과 현의 길이의 관계: 한 원에서 크기가 같은 원주각에 대한 현의 길이는 서로 같습니다.
- 코사인법칙: 삼각형에서 세 변의 길이와 한 각의 코사인 값 사이의 관계를 보여줍니다.
- 사인법칙: 삼각형의 한 변의 길이와 그 대각의 사인 값, 그리고 외접원의 반지름($R$) 사이의 관계를 연결해 줍니다.
단계별 풀이
1단계: 같은 크기의 원주각을 이용해 현의 길이 설정하기
문제에서 $\angle\text{BAC} = \angle\text{CAD}$라고 했습니다. 이 두 각은 원 위의 점 $\text{A}$에서 그은 원주각입니다.
원주각의 크기가 같으면 그 각이 대하는 호의 길이도 같고, 따라서 현의 길이도 같습니다.
즉, 호 $\text{BC}$에 대한 원주각 $\angle\text{BAC}$와 호 $\text{CD}$에 대한 원주각 $\angle\text{CAD}$의 크기가 같으므로, 두 현의 길이인 $\overline{\text{BC}}$와 $\overline{\text{CD}}$의 길이는 같습니다.
편의상 이 길이를 $x$라 하고, 같은 각의 크기를 $\theta$라고 놓겠습니다.
$$\overline{\text{BC}} = \overline{\text{CD}} = x$$
$$\angle\text{BAC} = \angle\text{CAD} = \theta$$
2단계: 두 삼각형에서 코사인법칙 적용하기
이제 삼각형 $\text{ABC}$와 삼각형 $\text{ACD}$에서 각각 코사인법칙을 사용하여 $x$와 $\cos\theta$ 사이의 관계식을 만들어 봅시다.
- 삼각형 $\text{ABC}$에서 코사인법칙 적용:
$$\overline{\text{BC}}^2 = \overline{\text{AB}}^2 + \overline{\text{AC}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AB}} \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \cos\theta$$
$$x^2 = 5^2 + (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \cos\theta$$
$$x^2 = 25 + 45 - 30\sqrt{5}\cos\theta$$
$$x^2 = 70 - 30\sqrt{5}\cos\theta \quad \cdots \text{ (식 1)}$$
- 삼각형 $\text{ACD}$에서 코사인법칙 적용:
$$\overline{\text{CD}}^2 = \overline{\text{AD}}^2 + \overline{\text{AC}}^2 - 2 \cdot \overline{\text{AD}} \cdot \overline{\text{AC}} \cdot \cos\theta$$
$$x^2 = 7^2 + (3\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 7 \cdot 3\sqrt{5} \cdot \cos\theta$$
$$x^2 = 49 + 45 - 42\sqrt{5}\cos\theta$$
$$x^2 = 94 - 42\sqrt{5}\cos\theta \quad \cdots \text{ (식 2)}$$
3단계: 연립하여 $\cos\theta$와 $x$ 구하기
(식 1)과 (식 2)는 모두 좌변이 $x^2$으로 같습니다. 따라서 우변끼리 같다고 놓고 방정식을 풀 수 있습니다.
$$70 - 30\sqrt{5}\cos\theta = 94 - 42\sqrt{5}\cos\theta$$
이항하여 정리해 봅시다.
$$42\sqrt{5}\cos\theta - 30\sqrt{5}\cos\theta = 94 - 70$$
$$12\sqrt{5}\cos\theta = 24$$
$$\cos\theta = \frac{24}{12\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$$
구한 $\cos\theta$ 값을 (식 1)에 대입하여 $x^2$의 값을 구합니다.
$$x^2 = 70 - 30\sqrt{5} \cdot \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)$$
$$x^2 = 70 - 60 = 10$$
길이는 양수이므로, $x = \sqrt{10}$입니다.
4단계: 사인법칙을 이용하여 외접원의 반지름 $R$ 구하기
외접원의 반지름 $R$을 구하기 위해 사인법칙을 사용해야 합니다. 사인법칙을 쓰려면 $\sin\theta$ 값이 필요하므로, 먼저 $\cos\theta$를 이용해 $\sin\theta$를 구합니다.
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
$$\sin^2\theta = 1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$$
$\theta$는 삼각형의 내각이므로 $\sin\theta > 0$입니다.
$$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
이제 삼각형 $\text{ABC}$에서 사인법칙을 적용합니다. (삼각형 $\text{ABC}$의 외접원은 사각형 $\text{ABCD}$의 외접원과 같습니다.)
$$\frac{\overline{\text{BC}}}{\sin\theta} = 2R$$
$$\frac{\sqrt{10}}{\frac{1}{\sqrt{5}}} = 2R$$
$$\sqrt{10} \cdot \sqrt{5} = 2R$$
$$\sqrt{50} = 2R$$
$$5\sqrt{2} = 2R$$
따라서 외접원의 반지름 $R$은 다음과 같습니다.
$$R = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$
답
① $\frac{5\sqrt{2}}{2}$
확인해보기
이 문제를 스스로 잘 이해했는지 확인해 볼까요? 다음 질문에 대해 생각해 보세요.
> 질문: 만약 문제에서 $\angle\text{BAC} = \angle\text{CAD}$라는 조건이 주어지지 않았다면, 우리는 $\overline{\text{BC}} = \overline{\text{CD}}$라고 단정 지을 수 있었을까요? 그 이유는 무엇인가요?