어떤 문제인가
이 문제는 정적분으로 정의된 함수의 성질과 함수의 극대·극소를 이용하여 미지수가 포함된 함수 $f(x)$의 구체적인 형태를 결정하고, 최종적으로 정적분 값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 이해해야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 정적분으로 정의된 함수의 미분: $g(x)$의 도함수 $g'(x)$를 구하여 함수의 증가와 감소, 극값을 파악합니다.
- 함수의 최솟값 조건: 열린구간에서 미분가능한 함수가 최솟값을 가질 때, 그 지점에서의 미분계수와 좌우 부호 변화를 분석합니다.
- 정적분의 기하학적 의미: $f(x)$가 구간별로 이차함수의 형태를 가짐을 이해하고, 각 구간에서의 정적분 값이 $\pm 1$이 됨을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $f(x)$의 특징 파악하기
조건에서 자연수 $n$에 대해 $n-1 \le x < n$ 일 때, $|f(x)| = |6(x-n+1)(x-n)|$ 이라고 했습니다.
$f(x)$는 실수 전체에서 연속이므로, 각 정수 구간 $[n-1, n]$에서 $f(x)$는 위로 볼록하거나 아래로 볼록한 이차함수의 형태를 가집니다.
이때, 한 구간 $[n-1, n]$에서 $|f(x)|$의 정적분 값(넓이)을 계산해 봅시다. 공식 $\int_{\alpha}^{\beta} a(x-\alpha)(\beta-x)dx = \frac{a(\beta-\alpha)^3}{6}$을 이용하면 편리합니다.
$$\int_{n-1}^{n} |f(x)| dx = \int_{n-1}^{n} 6(x-n+1)(n-x) dx = \frac{6(n - (n-1))^3}{6} = 1$$
따라서, $f(x)$는 각 구간 $[n-1, n]$에서 양의 값을 가지면 정적분 값이 $+1$, 음의 값을 가지면 $-1$이 됩니다.
편의상 $a_n = \int_{n-1}^{n} f(x)dx$ 라고 하면, $a_n$이 가질 수 있는 값은 **$+1$ 또는 $-1$** 뿐입니다.
2단계: 함수 $g(x)$ 정리하고 미분하기
주어진 함수 $g(x)$를 먼저 보기 좋게 정리해 봅시다.
$$g(x) = \int_{0}^{x} f(t)dt - \int_{x}^{4} f(t)dt$$
우변의 두 번째 항을 $\int_{x}^{4} f(t)dt = \int_{0}^{4} f(t)dt - \int_{0}^{x} f(t)dt$로 바꾸어 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.
$$g(x) = 2\int_{0}^{x} f(t)dt - \int_{0}^{4} f(t)dt$$
이제 양변을 $x$에 대해 미분해 봅시다. (적분의 기본 정리에 의해)
$$g'(x) = 2f(x)$$
3단계: $x=2$에서 최솟값 $0$을 가질 조건 분석하기
$g(x)$가 열린구간 $(0, 4)$ 안의 $x=2$에서 최솟값을 가지므로, $x=2$는 극소점이 되어야 합니다.
즉, $g'(x) = 2f(x)$의 부호가 $x=2$를 기준으로 **음수($-$)에서 양수($+$)**로 변해야 합니다.
- $x < 2$ 일 때 (즉, 구간 $[1, 2]$에서): $f(x) \le 0$ 이어야 하므로, $a_2 = \int_{1}^{2} f(x)dx = -1$ 입니다.
- $x > 2$ 일 때 (즉, 구간 $[2, 3]$에서): $f(x) \ge 0$ 이어야 하므로, $a_3 = \int_{2}^{3} f(x)dx = 1$ 입니다.
또한, $x=2$에서 최솟값이 $0$이므로 $g(2) = 0$ 입니다.
$$g(2) = \int_{0}^{2} f(t)dt - \int_{2}^{4} f(t)dt = 0$$
$$\implies \int_{0}^{2} f(t)dt = \int_{2}^{4} f(t)dt$$
이를 $a_n$을 이용해 나타내면 다음과 같습니다.
$$a_1 + a_2 = a_3 + a_4$$
이미 구한 $a_2 = -1$, $a_3 = 1$을 대입해 봅시다.
$$a_1 - 1 = 1 + a_4 \implies a_1 - a_4 = 2$$
$a_1$과 $a_4$는 각각 $+1$ 또는 $-1$만 가능하므로, 이 식을 만족하는 유일한 조합은 다음과 같습니다.
$$a_1 = 1, \quad a_4 = -1$$
4단계: 구하고자 하는 정적분 값 계산하기
우리가 구해야 하는 값은 $\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x)dx$ 입니다. 이 적분을 구간별로 나누어 써 봅시다.
$$\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x)dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x)dx + \int_{1}^{2} f(x)dx + \int_{2}^{3} f(x)dx + \int_{3}^{4} f(x)dx$$
$$\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x)dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x)dx + a_2 + a_3 + a_4$$
앞서 구한 값들을 대입하면:
$$\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x)dx = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x)dx + (-1) + 1 + (-1) = \int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x)dx - 1$$
이제 $\int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x)dx$의 값만 구하면 됩니다.
구간 $[0, 1]$에서 $a_1 = 1$이므로 $f(x) \ge 0$입니다. 즉, 이 구간에서 $f(x) = -6x(x-1) = 6x - 6x^2$ 입니다.
$$\int_{\frac{1}{2}}^{1} (6x - 6x^2) dx = \left[ 3x^2 - 2x^3 \right]_{\frac{1}{2}}^{1}$$
$$= (3 - 2) - \left( 3\left(\frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{1}{8}\right) \right)$$
$$= 1 - \left( \frac{3}{4} - \frac{1}{4} \right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$
따라서 최종 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$\int_{\frac{1}{2}}^{4} f(x)dx = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$$
답
**② $-\frac{1}{2}$**
확인해보기
만약 문제의 조건이 "열린구간 $(0, 4)$에서 정의된 함수 $g(x)$가 $x=2$에서 최댓값을 가질 때"로 바뀐다면, 구간 $[1, 2]$와 $[2, 3]$에서 함수 $f(x)$의 부호는 각각 어떻게 되어야 할까요? 스스로 생각해보세요!