어떤 문제인가
이 문제는 거듭제곱근의 성질을 이해하고, 주어진 조건에 맞는 자연수의 개수를 구하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 머릿속에 넣어두어야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 거듭제곱근의 유리수 지수 표현: $\sqrt[n]{a^p} = a^{\frac{p}{n}}$
- 지수법칙과 정수 조건: 밑이 더 이상 쪼개지지 않는 수(소수 등)일 때, 이 값이 정수가 되려면 지수가 0 또는 양의 정수여야 합니다.
- 약수의 개수 구하기: 어떤 자연수의 약수의 개수를 구하는 방법과 조건에 맞는 자연수 $n$의 개수 찾기.
단계별 풀이
1단계: 문제를 수학적 식(지수 형태)으로 나타내기
먼저 "$m^{12}$의 $n$제곱근"을 식으로 써봅시다.
$$\sqrt[n]{m^{12}} = m^{\frac{12}{n}}$$
이 값이 정수가 되어야 합니다. 이때 $n$은 $2$ 이상의 자연수입니다.
밑인 $m$이 어떤 수냐에 따라 지수 $\frac{12}{n}$가 어떻게 변하는지 살펴봐야 합니다. $m$을 더 이상 거듭제곱으로 나타낼 수 없는 가장 단순한 밑(소수 또는 서로 다른 소수의 곱)의 거듭제곱 형태로 나타내어 생각해야 합니다.
즉, $m = k^p$ ($k$는 더 이상 거듭제곱으로 표현할 수 없는 자연수, $p$는 자연수)라고 하면,
$$m^{\frac{12}{n}} = (k^p)^{\frac{12}{n}} = k^{\frac{12p}{n}}$$
이 값이 정수가 되려면 **$\frac{12p}{n}$가 자연수**가 되어야 합니다. (지수가 음수가 될 수 없고, $n \ge 2$이므로 0이 될 수도 없습니다.)
따라서 **$n$은 $12p$의 약수여야 하며, 문제 조건에 의해 $n \ge 2$**여야 합니다.
2단계: $m$의 값($2$부터 $9$까지)을 분류하기
$m$의 값에 따라 $p$의 값이 달라지므로, $m$을 분류해 봅시다.
- **유형 1: $p=1$인 경우 ($m = k^1$)**
* $m = 2, 3, 5, 6, 7$
* 이 수들은 다른 자연수의 거듭제곱으로 나타낼 수 없습니다. ($6 = 2 \times 3$ 이므로 역시 지수는 1입니다.)
* 이때 $12p = 12 \times 1 = 12$입니다.
- **유형 2: $p=2$인 경우 ($m = k^2$)**
* $m = 4 = 2^2$
* $m = 9 = 3^2$
* 이때 $12p = 12 \times 2 = 24$입니다.
- **유형 3: $p=3$인 경우 ($m = k^3$)**
* $m = 8 = 2^3$
* 이때 $12p = 12 \times 3 = 36$입니다.
3단계: 각 유형별로 $f(m)$ 구하기
이제 각 유형에 대해 $n$의 개수 $f(m)$을 구해봅시다. $n$은 $12p$의 약수 중 $1$을 제외한($n \ge 2$) 자연수입니다.
- **유형 1 ($m = 2, 3, 5, 6, 7$ 일 때)**
* $n$은 $12$의 약수 중 $1$이 아닌 수입니다.
* $12$의 약수: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ (총 6개)
* $1$을 제외해야 하므로, $n$의 개수는 $6 - 1 = 5$개입니다.
* 따라서, $f(2) = f(3) = f(5) = f(6) = f(7) = 5$
- **유형 2 ($m = 4, 9$ 일 때)**
* $n$은 $24$의 약수 중 $1$이 아닌 수입니다.
* $24$의 약수: $\{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ (총 8개)
* $1$을 제외해야 하므로, $n$의 개수는 $8 - 1 = 7$개입니다.
* 따라서, $f(4) = f(9) = 7$
- **유형 3 ($m = 8$ 일 때)**
* $n$은 $36$의 약수 중 $1$이 아닌 수입니다.
* $36$의 약수: $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ (총 9개)
* $1$을 제외해야 하므로, $n$의 개수는 $9 - 1 = 8$개입니다.
* 따라서, $f(8) = 8$
4단계: 최종 합 구하기
구하고자 하는 값은 $\sum_{m=2}^{9} f(m)$ 이므로 모두 더해줍니다.
$$\sum_{m=2}^{9} f(m) = f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) + f(8) + f(9)$$
$$= 5 + 5 + 7 + 5 + 5 + 5 + 8 + 7$$
계산을 편하게 하기 위해 묶어서 더해볼까요?
- $5$가 총 5개: $5 \times 5 = 25$
- $7$이 총 2개: $7 \times 2 = 14$
- $8$이 1개: $8$
$$25 + 14 + 8 = 47$$
답
③ 47
확인해보기
오늘 배운 개념을 잘 이해했는지 스스로 확인해봅시다!
> 질문: 만약 $m = 16$일 때, $16^{12}$의 $n$제곱근이 정수가 되도록 하는 $2$ 이상의 자연수 $n$의 개수 $f(16)$은 얼마일까요? (힌트: $16$을 소수의 거듭제곱으로 먼저 나타내어 보세요!)