어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 따라 정의된 함수 $g(x)$를 바탕으로, 새로운 함수 $h(x)$의 성질(함숫값, 연속성, 최솟값의 존재 여부)을 파악하는 문제입니다.
이 문제를 풀기 위해 우리가 꼭 알아야 할 핵심 개념 3가지는 다음과 같습니다:
- 우극한의 정의: $\lim_{t \to 0+} g(x+t)$는 $x$보다 약간 큰 쪽에서 $x$로 다가갈 때의 극한값, 즉 $g(x)$의 우극한 $g(x+)$를 의미합니다.
- 함수의 연속성: 어떤 함수가 특정 지점에서 연속이려면 좌극한, 우극한, 함숫값이 모두 같아야 합니다.
- 최대·최소 정리와 열린 구간: 연속함수가 닫힌구간에서는 반드시 최댓값과 최솟값을 갖지만, 반열린 구간이나 열린 구간에서는 최솟값이 존재하지 않을 수도 있습니다.
단계별 풀이
1단계: 함수 $h(x)$의 의미를 간단하게 정리하기
먼저 $h(x)$의 식을 이해하기 쉬운 형태로 바꾸어 봅시다.
$$h(x) = \lim_{t \to 0+} g(x+t) \times \lim_{t \to 2+} g(x+t)$$
여기서 두 극한 식은 다음과 같이 해석할 수 있습니다.
- $\lim_{t \to 0+} g(x+t)$는 $g(x)$의 $x$에서의 우극한입니다. 이를 편의상 $g(x+)$라 쓰겠습니다.
- $\lim_{t \to 2+} g(x+t)$는 $g(x)$의 $x+2$에서의 우극한입니다. 이를 $g((x+2)+)$라 쓰겠습니다.
따라서 함수 $h(x)$는 다음과 같이 간단히 쓸 수 있습니다.
$$h(x) = g(x+) \times g((x+2)+)$$
이제 $g(x+)$의 식을 구간별로 구해봅시다. $g(x)$의 정의에 따라 우극한을 구하면 다음과 같습니다.
$$g(x+) = \begin{cases} x & (x \ge 1) \\ f(x) & (-1 \le x < 1) \\ x & (x < -1) \end{cases}$$
(참고: $f(x)$는 다항함수이므로 모든 곳에서 연속이라 우극한이 함숫값 $f(x)$와 같습니다.)
마찬가지로 $g((x+2)+)$는 위 식의 $x$ 자리에 $x+2$를 대입한 것이므로, 구간도 $2$만큼 왼쪽으로 이동합니다.
$$g((x+2)+) = \begin{cases} x+2 & (x \ge -1) \\ f(x+2) & (-3 \le x < -1) \\ x+2 & (x < -3) \end{cases}$$
2단계: <보기> ㄱ 확인하기 ($h(1) = 3$인가?)
$h(1)$의 값을 직접 구해봅시다. 1단계에서 정리한 식에 $x=1$을 대입합니다.
$$h(1) = g(1+) \times g(3+)$$
- $g(1+)$는 $x \ge 1$ 구간에 해당하므로 $1$입니다.
- $g(3+)$는 $x \ge 1$ 구간에 해당하므로 $3$입니다.
따라서,
$$h(1) = 1 \times 3 = 3$$
이므로 ㄱ은 참(옳음)입니다.
3단계: <보기> ㄴ 확인하기 (함수 $h(x)$는 실수 전체에서 연속인가?)
$h(x)$가 실수 전체에서 연속이려면, 경계가 되는 지점들에서 연속이어야 합니다. 경계점 중 하나인 $x = 1$에서 연속성을 확인해 봅시다.
$x = 1$ 근처에서 $h(x)$의 식을 세워보면:
- $x \ge 1$ 일 때: $g(x+) = x$ 이고 $g((x+2)+) = x+2$ 이므로, $h(x) = x(x+2)$
- $-1 \le x < 1$ 일 때: $g(x+) = f(x)$ 이고 $g((x+2)+) = x+2$ 이므로, $h(x) = f(x)(x+2)$
이제 $x=1$에서의 우극한(및 함숫값)과 좌극한을 비교해 봅시다.
- 우극한 및 함숫값: $\lim_{x \to 1+} h(x) = h(1) = 1 \times 3 = 3$
- 좌극한: $\lim_{x \to 1-} h(x) = \lim_{x \to 1-} f(x)(x+2) = f(1) \times 3 = 3f(1)$
$h(x)$가 $x=1$에서 연속이려면 $3 = 3f(1)$, 즉 $f(1) = 1$이어야 합니다.
하지만 문제에서 $f(x)$는 단지 '다항함수'라고만 했을 뿐, $f(1) = 1$이라는 조건은 없습니다. 예를 들어 $f(x) = 0$인 경우 $f(1) = 0 \neq 1$이 되므로 $h(x)$는 $x=1$에서 불연속이 됩니다.
따라서 항상 연속이라고 할 수 없으므로 ㄴ은 거짓(틀림)입니다.
4단계: <보기> ㄷ 확인하기 (조건을 만족할 때 $h(x)$는 최솟값을 갖는가?)
주어진 조건:
- $g(x)$가 닫힌구간 $[-1, 1]$에서 감소합니다. 즉, 이 구간에서 $f(x)$는 감소함수입니다.
- $g(-1) = f(-1) = -2$입니다.
$f(x)$가 감소함수이고 $f(-1) = -2$이므로, 구간 $[-1, 1]$에서 $f(x) \le -2 < 0$입니다. 즉, 이 구간에서 $f(x)$는 항상 음수입니다.
이제 각 구간별로 $h(x)$의 부호와 범위를 살펴봅시다.
- **$x \ge 1$ 일 때**: $h(x) = x(x+2) \ge 3$ (양수)
- **$x < -3$ 일 때**: $h(x) = x(x+2) > 3$ (양수)
- **$-3 \le x < -1$ 일 때**: $h(x) = x f(x+2)$
* 이 구간에서 $x$는 음수이고, $x+2 \in [-1, 1)$이므로 $f(x+2)$도 음수입니다.
* 음수 $\times$ 음수 = 양수이므로, 이 구간에서 $h(x) > 0$입니다.
- **$-1 \le x < 1$ 일 때**: $h(x) = f(x)(x+2)$
* 이 구간에서 $f(x) \le -2$ (음수)이고, $x+2 \ge 1$ (양수)이므로, $h(x)$는 음수입니다.
오직 **$-1 \le x < 1$ 구간에서만 $h(x)$가 음수**를 가집니다! 따라서 최솟값이 존재한다면 반드시 이 구간에서 존재해야 합니다.
이 구간 $[-1, 1)$에서 $h(x) = f(x)(x+2)$의 행동을 봅시다.
- $x$가 증가할 때, $f(x)$는 감소하여 더 작은 음수가 됩니다.
- 동시에 $x+2$는 증가하여 더 큰 양수가 됩니다.
- (음수) $\times$ (양수)에서 음수는 더 작아지고 양수는 더 커지므로, 곱한 값인 $h(x)$는 계속해서 감소하게 됩니다.
즉, $h(x)$는 $[-1, 1)$에서 단조 감소합니다. 따라서 $x$가 $1$에 한없이 가까워질 때 최솟값에 가까워집니다.
$$\lim_{x \to 1-} h(x) = 3f(1)$$
하지만 $x = 1$일 때의 실제 함숫값은 $h(1) = 3$입니다.
즉, $h(x)$의 값은 $3f(1)$에 한없이 가까워지지만(이 값은 $f(1) \le -2$이므로 $-6$ 이하의 음수입니다), 정작 $x=1$에서는 붕 떠서 $3$이 되어버립니다.
결국 $h(x)$는 $3f(1)$이라는 하한선에 도달하지 못하므로 최솟값을 갖지 않습니다.
따라서 ㄷ은 거짓(틀림)입니다.
답
정답은 ① ㄱ 입니다.
확인해보기
단계별 풀이의 3단계를 바탕으로 다음 질문에 스스로 답해봅시다.
질문: 만약 다항함수 $f(x)$가 $f(1) = 1$ 이고 $f(-1) = -1$을 만족한다면, 함수 $h(x)$는 $x = -3$에서 연속이 될까요? 3단계에서 구한 식들을 참고하여 좌극한과 우극한을 비교해 보세요.