어떤 문제인가
이 문제는 주어진 조건에 따라 변하는 수열의 규칙을 이해하고, 특정 항($a_7 = 40$)을 기준으로 앞뒤의 항들을 추적해 나가는 수열의 귀납적 정의 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 거꾸로 추적하기: 알려진 항($a_7$)으로부터 이전 항($a_6, a_5, \dots$)들의 후보를 찾아내는 과정입니다.
- 경우 분류 (경우 Analysis): 조건 (나)처럼 "3의 배수인가 아닌가"에 따라 규칙이 달라지므로, 가능한 모든 경우를 나누어 생각해야 합니다.
- 자연수 조건: 모든 항이 자연수라는 조건을 이용해 불가능한 경우를 걸러냅니다.
단계별 풀이
1단계: $a_7 = 40$을 이용하여 $a_8$과 $a_9$의 관계식 세우기
우리가 구하고자 하는 것은 $a_9$의 최댓값과 최솟값입니다. 먼저 $a_7 = 40$이 3의 배수가 아니라는 점에 주목합시다.
조건 (나)에 의해, $a_7$이 3의 배수가 아니므로 $a_8$은 다음과 같이 결정됩니다.
$$a_8 = a_7 + a_6 = 40 + a_6$$
이제 $a_9$를 구하려면 $a_8$이 3의 배수인지 아닌지에 따라 두 가지 경로로 나뉩니다.
- **경로 A ($a_8$이 3의 배수가 아닌 경우):**
$$a_9 = a_8 + a_7 = (40 + a_6) + 40 = 80 + a_6$$
- **경로 B ($a_8$이 3의 배수인 경우):**
$$a_9 = \frac{1}{3}a_8 = \frac{1}{3}(40 + a_6)$$
즉, $a_6$의 값에 따라 $a_9$의 값이 결정되므로, 우리는 **$a_7 = 40$을 만족하는 가능한 모든 $a_6$의 값**을 찾아야 합니다.
2단계: $a_7 = 40$으로부터 $a_6$ 역추적하기
$a_7$은 $a_6$이 3의 배수인지 아닌지에 따라 결정됩니다. 두 가지 경우로 나누어 봅시다.
**[경우 1] $a_6$이 3의 배수인 경우**
조건 (나)에 의해 다음과 같습니다.
$$a_7 = \frac{1}{3}a_6 \implies 40 = \frac{1}{3}a_6 \implies a_6 = 120$$
$a_6 = 120$은 3의 배수가 맞으므로, 이는 가능한 값입니다.
**[경우 2] $a_6$이 3의 배수가 아닌 경우**
조건 (나)에 의해 다음과 같습니다.
$$a_7 = a_6 + a_5 \implies 40 = a_6 + a_5 \implies a_5 = 40 - a_6$$
모든 항은 자연수이므로 $a_5 \ge 1$이어야 합니다. 따라서 $1 \le a_6 \le 39$입니다.
이제 $a_5$가 3의 배수인지 아닌지에 따라 다시 나누어 봅니다.
- **[서브경우 2-1] $a_5$가 3의 배수인 경우**
$$a_6 = \frac{1}{3}a_5 \implies a_6 = \frac{1}{3}(40 - a_6) \implies 3a_6 = 40 - a_6 \implies 4a_6 = 40 \implies a_6 = 10$$
이때 $a_5 = 30$이 되어 3의 배수 조건을 만족하고, $a_6 = 10$은 3의 배수가 아니므로 가능한 값입니다.
- **[서브경우 2-2] $a_5$가 3의 배수가 아닌 경우**
$$a_6 = a_5 + a_4 \implies a_6 = (40 - a_6) + a_4 \implies a_4 = 2a_6 - 40$$
$a_4 \ge 1$이어야 하므로 $2a_6 - 40 \ge 1 \implies a_6 \ge 21$입니다. 즉, $21 \le a_6 \le 39$입니다.
또한, $a_6$과 $a_5(= 40 - a_6)$ 모두 3의 배수가 아니어야 합니다.
$40$을 3으로 나눈 나머지는 $1$이므로, $a_6$을 3으로 나눈 나머지가 $1$이면 $a_5$가 3의 배수가 되어 모순입니다. 따라서 $a_6$은 3으로 나눈 나머지가 $2$인 수여야 합니다.
$$a_6 \in \{23, 26, 29, 32, 35, 38\}$$
이때 $a_4 = 2a_6 - 40$인데, $a_6$이 3으로 나눈 나머지가 2인 수($a_6 = 3k+2$)이므로 대입해 보면,
$$a_4 = 2(3k+2) - 40 = 6k - 36 = 3(2k-12)$$
즉, **$a_4$는 항상 3의 배수**가 됩니다!
$a_4$가 3의 배수이므로, 조건 (나)에 의해 $a_5 = \frac{1}{3}a_4$가 되어야 합니다.
$$40 - a_6 = \frac{1}{3}(2a_6 - 40) \implies 120 - 3a_6 = 2a_6 - 40 \implies 5a_6 = 160 \implies a_6 = 32$$
$a_6 = 32$일 때 실제로 계산해 보면 $a_5 = 8$, $a_4 = 24$가 되어 모든 규칙을 만족합니다. 따라서 $a_6 = 32$는 가능한 값입니다.
3단계: 구한 $a_6$ 값들로 $a_9$ 계산하기
우리가 찾은 가능한 $a_6$의 값은 **$10, 32, 120$** 세 가지입니다. 각각의 경우에 대해 $a_9$를 구해봅시다.
- **$a_6 = 10$인 경우:**
* $a_8 = 40 + 10 = 50$ (3의 배수가 아님)
* $a_9 = 50 + 40 = 90$
- **$a_6 = 32$인 경우:**
* $a_8 = 40 + 32 = 72$ (3의 배수임)
* $a_9 = \frac{1}{3} \times 72 = 24$
- **$a_6 = 120$인 경우:**
* $a_8 = 40 + 120 = 160$ (3의 배수가 아님)
* $a_9 = 160 + 40 = 200$
4단계: 최댓값과 최솟값 합 구하기
- 최댓값 $M = 200$
- 최솟값 $m = 24$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$M + m = 200 + 24 = 224$$
답
정답은 ⑤ 224 입니다.
확인해보기
이해를 돕기 위한 질문입니다. 스스로 생각해보세요!
> 만약 문제의 조건 (가)가 $a_7 = 40$이 아니라 **$a_7 = 30$**으로 주어졌다면, $a_8$의 값은 어떻게 구해야 할까요? 조건 (나)의 두 식 중 어떤 식을 적용해야 하는지 설명해 보세요.