어떤 문제인가
이 문제는 로그의 성질을 이용하여 주어진 로그방정식을 만족하는 실수 $x$의 값을 찾는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 진수 조건: 로그가 정의되기 위해서는 로그의 진수(로그 기호 안의 식)가 항상 양수여야 합니다.
- 로그의 성질: 밑이 같은 로그의 합은 진수의 곱과 같습니다. ($\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$)
- 로그방정식의 풀이: 밑을 통일한 후, 진수끼리 비교하여 방정식을 풉니다.
단계별 풀이
1단계: 가장 먼저 '진수 조건' 확인하기
로그 문제를 풀 때 가장 실수하기 쉬운 부분이 바로 '진수 조건'을 빼먹는 것입니다. 로그의 진수는 항상 $0$보다 커야 하므로, 식에 등장하는 모든 진수의 범위를 먼저 구해야 합니다.
- 첫 번째 로그의 진수 조건:
$$3x + 2 > 0 \implies x > -\frac{2}{3}$$
- 두 번째 로그의 진수 조건:
$$x - 2 > 0 \implies x > 2$$
이 두 조건을 동시에 만족해야 하므로, 우리가 구하는 $x$는 반드시 다음 범위를 만족해야 합니다.
$$x > 2$$
2단계: 로그의 밑을 통일하고 식 정리하기
주어진 방정식은 다음과 같습니다.
$$\log_2(3x+2) = 2 + \log_2(x-2)$$
우변에 있는 상수 $2$를 밑이 $2$인 로그로 바꾸어 주면, 우변의 로그들을 하나로 합칠 수 있습니다. $2 = \log_2 2^2 = \log_2 4$이므로 식을 다시 쓰면 다음과 같습니다.
$$\log_2(3x+2) = \log_2 4 + \log_2(x-2)$$
이제 우변에 로그의 성질($\log_a M + \log_a N = \log_a(MN)$)을 적용해 봅시다.
$$\log_2(3x+2) = \log_2 [4(x-2)]$$
3단계: 진수끼리 비교하여 방정식 풀기
좌변과 우변의 로그의 밑이 $2$로 같아졌으므로, 이제 진수끼리 같다고 놓고 방정식을 풀면 됩니다.
$$3x + 2 = 4(x - 2)$$
괄호를 풀고 $x$에 대해 정리해 봅시다.
$$3x + 2 = 4x - 8$$
$$2 + 8 = 4x - 3x$$
$$x = 10$$
4단계: 구한 값이 진수 조건을 만족하는지 확인하기
1단계에서 구한 진수 조건은 $x > 2$였습니다.
우리가 구한 $x = 10$은 이 조건을 만족하므로 올바른 답이 됩니다.
답
$$x = 10$$
확인해보기
로그방정식을 풀 때, 왜 계산을 시작하기 전에 '진수 조건'을 먼저 확인해야 할까요? 만약 방정식을 풀어 나온 해가 진수 조건을 만족하지 않는다면 그 값은 어떻게 처리해야 할지 생각해 보세요.