어떤 문제인가
이 문제는 미분된 함수(도함수) $f'(x)$가 주어졌을 때, 원래의 함수 $f(x)$를 찾아내고 특정 함숫값을 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 부정적분: 도함수 $f'(x)$를 원래 함수 $f(x)$로 되돌리는 연산입니다.
- **적분상수 ($C$)**: 부정적분을 할 때 생기는 임의의 상수입니다.
- 함숫값 대입: 조건 $f(0)=3$을 이용해 적분상수를 구하고, 최종적으로 $f(2)$를 계산합니다.
단계별 풀이
1단계: 도함수 $f'(x)$를 적분하여 원래 함수 $f(x)$의 식 세우기
미분의 반대 연산인 부정적분을 이용해 $f(x)$를 구합니다. 다항함수의 적분 공식 $\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C$ (단, $C$는 적분상수)를 사용해 봅시다.
$$f(x) = \int f'(x) dx = \int (4x^3 - 2x) dx$$
각 항을 공식에 맞춰 적분하면 다음과 같습니다.
$$f(x) = 4 \cdot \left(\frac{1}{4}x^4\right) - 2 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right) + C$$
$$f(x) = x^4 - x^2 + C$$
여기서 $C$는 아직 알지 못하는 적분상수입니다.
2단계: 조건 $f(0) = 3$을 이용하여 적분상수 $C$ 구하기
문제에서 $f(0) = 3$이라는 힌트를 주었습니다. 1단계에서 구한 $f(x)$ 식에 $x = 0$을 대입해 봅시다.
$$f(0) = 0^4 - 0^2 + C = C$$
문제에서 $f(0) = 3$이라고 했으므로, 적분상수 $C$의 값은 다음과 같습니다.
$$C = 3$$
따라서 우리가 구하고자 하는 원래 함수 $f(x)$는 다음과 같이 완성됩니다.
$$f(x) = x^4 - x^2 + 3$$
3단계: $f(2)$의 값 계산하기
이제 완성된 함수 $f(x)$에 $x = 2$를 대입하여 최종 답을 구합니다.
$$f(2) = 2^4 - 2^2 + 3$$
$$f(2) = 16 - 4 + 3$$
$$f(2) = 15$$
답
$$15$$
확인해보기
공부를 잘 마쳤는지 스스로 확인해 볼까요?
> 질문: 만약 이 문제에서 다른 조건은 모두 같고, $f(0) = 3$ 대신 **$f(1) = 5$**라는 조건이 주어졌다면 적분상수 $C$의 값은 얼마가 될까요? 직접 식을 세워 계산해 보세요. (답은 스스로 구해보세요!)