어떤 문제인가
이 문제는 수열의 합을 나타내는 기호인 **시그마($\sum$)의 기본 성질**을 잘 이해하고 있는지 묻는 문제입니다.
문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 시그마의 분배법칙 (합과 차): $\sum (a_k + b_k) = \sum a_k + \sum b_k$
- 시그마의 실수배: $\sum c a_k = c \sum a_k$ (단, $c$는 상수)
- 상수의 시그마 계산: $\sum_{k=1}^{n} c = c \times n$ (상수 $c$를 $n$번 더한다는 의미)
이 성질들을 이용해 복잡해 보이는 식을 단순하게 나누어 풀어봅시다!
단계별 풀이
1단계: 첫 번째 조건식 정리하여 $\sum_{k=1}^{5} a_k$ 구하기
첫 번째 조건식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{5} (3a_k + 5) = 55$$
시그마의 성질을 이용해서 괄호 안의 식을 각각 분리해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{5} 3a_k + \sum_{k=1}^{5} 5 = 55$$
여기서 두 가지 성질을 적용합니다.
- $3a_k$에서 상수 $3$은 시그마 앞으로 나갈 수 있습니다: $3\sum_{k=1}^{5} a_k$
- $\sum_{k=1}^{5} 5$는 숫자 $5$를 $5$번 더하라는 뜻이므로, $5 \times 5 = 25$가 됩니다.
이것을 식에 대입하면 다음과 같습니다.
$$3\sum_{k=1}^{5} a_k + 25 = 55$$
양변에서 $25$를 빼줍니다.
$$3\sum_{k=1}^{5} a_k = 30$$
양변을 $3$으로 나누면 우리가 원하는 값을 얻을 수 있습니다.
$$\sum_{k=1}^{5} a_k = 10$$
2단계: 두 번째 조건식에 대입하여 $\sum_{k=1}^{5} b_k$ 구하기
두 번째 조건식은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{5} (a_k + b_k) = 32$$
이 식도 시그마의 성질을 이용해 분리해 봅시다.
$$\sum_{k=1}^{5} a_k + \sum_{k=1}^{5} b_k = 32$$
우리는 1단계에서 $\sum_{k=1}^{5} a_k = 10$이라는 것을 알아냈습니다. 이 값을 식에 대입해 볼까요?
$$10 + \sum_{k=1}^{5} b_k = 32$$
따라서 구하고자 하는 값은 다음과 같습니다.
$$\sum_{k=1}^{5} b_k = 32 - 10 = 22$$
답
$$22$$
확인해보기
오늘 배운 시그마의 성질을 잘 이해했는지 스스로 확인해 볼까요? 다음 문제를 직접 풀어보세요.
> [질문]
> 어떤 수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{k=1}^{10} (2a_k - 3) = 10$ 일 때, $\sum_{k=1}^{10} a_k$의 값은 얼마일까요? (상수항을 계산할 때 시그마의 위끝인 $10$을 곱해야 한다는 점에 주의하세요!)