어떤 문제인가
이 문제는 삼차방정식의 실근의 개수와 그 부호(양수인지 음수인지)를 결정하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 사용할 거예요.
- 방정식과 함수의 그래프: 방정식을 함수 두 개의 교점으로 해석하기 (예: $f(x) = -k$)
- 도함수와 그래프의 개형: 미분을 이용해 삼차함수의 극댓값과 극솟값을 구하고 그래프 그리기
- 실근의 부호 조건: 교점의 $x$좌표가 양수($x > 0$)인 영역에서 교점이 2개가 되도록 하는 조건 찾기
단계별 풀이
1단계: 상수 $k$를 분리하여 두 함수로 나누기
방정식 $2x^3 - 6x^2 + k = 0$을 그대로 두고 풀면 $k$의 값에 따라 그래프 전체가 위아래로 움직여서 생각하기 복잡해요. 그래서 고정된 삼차함수와 움직이는 직선(상수함수)으로 식을 나누어 줄 거예요.
$k$를 우변으로 이항해 봅시다.
$$2x^3 - 6x^2 = -k$$
이제 이 방정식을 다음 두 함수의 교점을 찾는 문제로 바꿀 수 있습니다.
- 좌변의 함수: $y = f(x) = 2x^3 - 6x^2$
- 우변의 함수: $y = -k$ (가로로 평평한 직선)
우리가 원하는 조건은 **"두 그래프가 $x > 0$인 영역(양의 실근)에서 서로 다른 두 점에서 만나는 것"**입니다.
2단계: 삼차함수 $f(x)$의 그래프 그리기
함수 $f(x) = 2x^3 - 6x^2$의 그래프가 어떻게 생겼는지 알기 위해 미분을 해봅시다.
$$f'(x) = 6x^2 - 12x$$
도함수가 $0$이 되는 지점(극점)을 찾기 위해 인수분해를 합니다.
$$6x(x - 2) = 0$$
$$x = 0 \text{ 또는 } x = 2$$
이제 극댓값과 극솟값을 구해볼까요?
- $x = 0$일 때 (극대): $f(0) = 2(0)^3 - 6(0)^2 = 0$
- $x = 2$일 때 (극소): $f(2) = 2(2)^3 - 6(2)^2 = 16 - 24 = -8$
이 정보를 바탕으로 $y = f(x)$의 그래프를 그리면 다음과 같습니다.
- $x < 0$에서 증가하다가 $(0, 0)$에서 극대를 가집니다.
- $0 < x < 2$에서 감소하여 $(2, -8)$에서 극소를 가집니다.
- $x > 2$에서 다시 증가합니다.
3단계: '서로 다른 양의 실근 2개'를 가질 조건 찾기
우리는 **$x > 0$인 영역**만 관심이 있습니다. $x > 0$일 때의 그래프 모양을 살펴봅시다.
- 그래프는 $(0,0)$에서 출발하여 (단, $x>0$이므로 $(0,0)$은 포함되지 않음) 아래로 내려가 $(2, -8)$을 찍고 다시 위로 올라갑니다.
여기에 가로선 $y = -k$를 그었을 때, **$x > 0$인 부분에서 교점이 2개**가 생기려면 가로선이 어디에 위치해야 할까요?
- 만약 $-k = -8$이면, $x=2$에서 접하므로 교점이 1개뿐입니다.
- 만약 $-k$가 $-8$보다 크고 $0$보다 작다면 (즉, $-8 < -k < 0$), 가로선이 내려갔다 올라가는 곡선 부분을 두 번 통과하므로 $x > 0$인 영역에서 서로 다른 두 점에서 만나게 됩니다.
- 만약 $-k \ge 0$이면, $x > 0$인 영역에서는 오직 하나의 교점만 갖게 됩니다. (하나는 $x \le 0$ 영역에 생기거나 아예 안 생김)
따라서 구하고자 하는 조건은 다음과 같습니다.
$$-8 < -k < 0$$
4단계: 정수 $k$의 개수 구하기
위에서 구한 부등식의 각 변에 $-1$을 곱해 부등호 방향을 바꾸어 줍니다.
$$0 < k < 8$$
이 범위를 만족하는 정수 $k$는 다음과 같습니다.
$$k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$$
따라서 만족하는 정수 $k$의 개수는 총 $7$개입니다.
답
$$7$$
확인해보기
위 풀이 과정을 잘 이해했는지 스스로 점검해 보세요.
질문: 만약 문제의 조건이 "서로 다른 음의 실근 1개와 서로 다른 양의 실근 2개를 갖도록 하는 정수 $k$의 범위"로 바뀐다면, 가로선 $y = -k$의 범위는 어떻게 되어야 할까요? (위에서 그린 그래프 전체를 보고 생각해 보세요!)