어떤 문제인가
이 문제는 $x$가 무한히 커질 때($x \to \infty$) 주어진 분수식의 값이 어디에 가까워지는지(극한값)를 구하는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 알아야 할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- **$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴의 극한**: 분모와 분자가 모두 무한히 커지는 형태입니다.
- 분모의 최고차항으로 나누기: 분모에서 가장 차수가 높은 항으로 분자, 분모를 각각 나누어 식을 정리합니다.
- 무한대 분의 상수: $x \to \infty$일 때, $\frac{\text{상수}}{x^n} \to 0$이 된다는 성질을 이용합니다.
단계별 풀이
1단계: 식의 형태 분석하기
먼저 $x$가 무한히 커질 때 분모와 분자가 어떻게 되는지 살펴봅시다.
- 분모인 $x+5$는 $x$가 커질 때 무한히 커집니다 ($\infty$).
- 분자인 $\sqrt{x^2-2}+3x$ 역시 $x$가 커질 때 무한히 커집니다 ($\infty$).
따라서 이 문제는 **$\frac{\infty}{\infty}$ 꼴**의 극한 문제입니다. 이럴 때는 분모에서 가장 힘이 센 항(최고차항)이 무엇인지 찾아야 합니다. 분모의 최고차항은 $x$ (1차항)입니다.
2단계: 분모의 최고차항인 $x$로 분자, 분모 나누기
분자식과 분모식을 각각 $x$로 나누어 식을 단순하게 만들어 봅시다. 이때 $x$가 양수이므로 $x = \sqrt{x^2}$임을 이용합니다.
- **분모를 $x$로 나누기:**
$$\frac{x+5}{x} = 1 + \frac{5}{x}$$
- **분자를 $x$로 나누기:**
$$\frac{\sqrt{x^2-2}+3x}{x} = \frac{\sqrt{x^2-2}}{x} + \frac{3x}{x}$$
여기서 루트 안으로 $x$가 들어가면 $x^2$이 되므로 다음과 같이 정리됩니다.
$$\sqrt{\frac{x^2-2}{x^2}} + 3 = \sqrt{1 - \frac{2}{x^2}} + 3$$
이제 원래 식을 다시 써보면 다음과 같습니다.
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 - \frac{2}{x^2}} + 3}{1 + \frac{5}{x}}$$
3단계: 극한값 계산하기
이제 $x$를 무한대로 보내봅시다. $x$가 무한히 커지면 분모에 $x$가 있는 항들은 모두 $0$에 가까워집니다.
- $\lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^2} = 0$
- $\lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} = 0$
이 값들을 식에 대입하면 다음과 같이 극한값을 구할 수 있습니다.
$$\frac{\sqrt{1 - 0} + 3}{1 + 0} = \frac{1 + 3}{1} = 4$$
답
**④ $4$**
확인해보기
오늘 배운 방법을 잘 이해했는지 확인해 볼까요?
만약 분모가 $x+5$가 아니라 $2x+5$로 바뀐다면, 극한값은 어떻게 변할지 스스로 계산해 보세요! (답은 직접 구해보세요.)