어떤 문제인가
이 문제는 수직선 위를 움직이는 점 $\text{P}$의 움직인 거리를 구하는 문제입니다. 이 문제를 해결하기 위해 우리는 다음 3가지 핵심 개념을 이해하고 적용해야 합니다.
- 가속도와 속도의 관계: 가속도 $a(t)$를 적분하면 속도 $v(t)$를 얻을 수 있습니다. ($v(t) = \int a(t) dt$)
- 속도의 연속성: 점 $\text{P}$가 끊어지지 않고 부드럽게 움직이므로, 속도 함수 $v(t)$는 모든 구간에서 연속이어야 합니다. 즉, $t=2$에서 두 구간의 속도 값이 같아야 합니다.
- 움직인 거리와 위치 변화량의 차이: '움직인 거리'는 방향과 상관없이 실제로 이동한 총량을 뜻하므로, 속도의 절댓값을 적분해야 합니다. 즉, $\int_{t_1}^{t_2} |v(t)| dt$를 구해야 합니다.
단계별 풀이
1단계: $t \ge 2$일 때의 속도 함수 $v(t)$ 구하기
조건 (나)에서 $t \ge 2$일 때 가속도가 $a(t) = 6t + 4$라고 주어졌습니다. 속도는 가속도의 부정적분이므로 다음과 같이 식을 세울 수 있습니다.
$$v(t) = \int (6t + 4) dt = 3t^2 + 4t + C \quad (\text{단, } C\text{는 적분상수})$$
이 적분상수 $C$를 구하기 위해 속도의 연속성을 이용합니다.
조건 (가)에서 $0 \le t \le 2$일 때 $v(t) = 2t^3 - 8t$이므로, $t=2$에서의 속도는 다음과 같습니다.
$$v(2) = 2(2)^3 - 8(2) = 16 - 16 = 0$$
속도 함수 $v(t)$는 $t=2$에서 연속이어야 하므로, $t \ge 2$일 때의 속도 식에 $t=2$를 대입한 값도 $0$이 되어야 합니다.
$$3(2)^2 + 4(2) + C = 0$$
$$12 + 8 + C = 0 \implies C = -20$$
따라서 $t \ge 2$일 때의 속도 함수는 다음과 같습니다.
$$v(t) = 3t^2 + 4t - 20 \quad (t \ge 2)$$
2단계: 구간별로 속도 $v(t)$의 부호 판별하기
움직인 거리를 구하려면 속도의 절댓값 $|v(t)|$을 적분해야 하므로, 구하고자 하는 구간 $t \in [0, 3]$에서 $v(t)$가 양수인지 음수인지 알아야 합니다. 구간을 $0 \le t \le 2$와 $2 \le t \le 3$으로 나누어 살펴봅시다.
- **구간 1: $0 \le t \le 2$ 일 때**
$$v(t) = 2t^3 - 8t = 2t(t^2 - 4) = 2t(t-2)(t+2)$$
이 구간에서 $2t \ge 0$, $(t+2) > 0$ 이고, $(t-2) \le 0$ 이므로 속도 $v(t) \le 0$ 입니다.
따라서 이 구간에서 $|v(t)| = -v(t) = -2t^3 + 8t$ 입니다.
- **구간 2: $2 \le t \le 3$ 일 때**
$$v(t) = 3t^2 + 4t - 20 = (3t + 10)(t - 2)$$
이 구간에서 $(3t+10) > 0$ 이고, $(t-2) \ge 0$ 이므로 속도 $v(t) \ge 0$ 입니다.
따라서 이 구간에서 $|v(t)| = v(t) = 3t^2 + 4t - 20$ 입니다.
3단계: 움직인 거리 계산하기
이제 $t=0$에서 $t=3$까지 움직인 거리를 구하기 위해 두 구간으로 나누어 정적분을 계산합니다.
$$\text{움직인 거리} = \int_{0}^{3} |v(t)| dt = \int_{0}^{2} (-2t^3 + 8t) dt + \int_{2}^{3} (3t^2 + 4t - 20) dt$$
각각 계산해 볼까요?
- **첫 번째 적분 ($0$에서 $2$까지)**:
$$\int_{0}^{2} (-2t^3 + 8t) dt = \left[ -\frac{1}{2}t^4 + 4t^2 \right]_{0}^{2}$$
$$= \left( -\frac{1}{2}(16) + 4(4) \right) - 0 = -8 + 16 = 8$$
- **두 번째 적분 ($2$에서 $3$까지)**:
$$\int_{2}^{3} (3t^2 + 4t - 20) dt = \left[ t^3 + 2t^2 - 20t \right]_{2}^{3}$$
* $t=3$ 대입: $3^3 + 2(3)^2 - 20(3) = 27 + 18 - 60 = -15$
* $t=2$ 대입: $2^3 + 2(2)^2 - 20(2) = 8 + 8 - 40 = -24$
* 계산: $(-15) - (-24) = 9$
따라서 총 움직인 거리는 다음과 같습니다.
$$\text{움직인 거리} = 8 + 9 = 17$$
답
$$17$$
확인해보기
만약 이 문제에서 "움직인 거리"가 아니라, **"시각 $t=0$에서 $t=3$까지 점 $\text{P}$의 위치 변화량"**을 구하라고 했다면 식을 어떻게 세워야 할까요? 그리고 그 값은 움직인 거리와 비교했을 때 더 클까요, 작을까요? 스스로 생각해보세요!