어떤 문제인가
이 문제는 주어진 절댓값 함수 $f(x)$의 그래프와 가로선 $y = t$의 교점의 개수 $g(t)$가 최대 $4$개가 되도록 하는 자연수 $n$의 조건을 찾는 문제입니다.
이 문제를 해결하기 위해 필요한 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 지수함수와 로그함수의 그래프: 밑에 따른 증가·감소 상태와 점근선을 파악합니다.
- **절댓값 함수 $y = |f(x)|$의 그래프**: $x$축 아랫부분을 위로 꺾어 올리는 기하학적 의미를 이해합니다.
- 방정식의 실근의 개수: $f(x) = t$의 실근의 개수는 두 함수 $y = f(x)$와 $y = t$의 그래프의 교점의 개수와 같습니다.
단계별 풀이
1단계: $x < 0$ 영역에서 $f(x)$의 그래프 분석하기
먼저 $x < 0$일 때의 함수 $f(x) = |3^{x+2} - n|$을 살펴봅시다. 절댓값을 씌우기 전의 함수 $y = 3^{x+2} - n$의 특징은 다음과 같습니다.
- $x \to -\infty$일 때, $3^{x+2} \to 0$이므로 점근선은 $y = -n$입니다.
- $x = 0$일 때의 값(우극한)은 $3^2 - n = 9 - n$입니다.
- 이 함수는 $x$가 증가할 때 함께 증가하는 증가함수입니다.
이제 절댓값을 씌우면 $x$축 아랫부분이 위로 꺾여 올라갑니다. $n$은 자연수이므로 점근선 $y = -n$은 $y = n$으로 꺾여 올라가게 됩니다.
이 영역($x < 0$)에서 가로선 $y = t$와 2개의 교점을 가지려면, 그래프가 $x$축을 통과하여 아래로 내려갔다가 꺾여 올라와야 합니다. 즉, $x < 0$에서 $x$축과의 교점(절편)이 존재해야 합니다.
그러려면 $x = 0$에서의 함숫값인 $9-n$이 $0$보다 커야 합니다.
$$9 - n > 0 \implies n < 9$$
이 조건($n < 9$)을 만족할 때, $x < 0$ 영역에서 $f(x)$의 그래프는 다음과 같은 범위를 가집니다.
- $x \to -\infty$일 때 $y \to n$ (점근선)
- $x$축과 만나는 점의 함숫값은 $0$
- $x = 0$에 가까워질 때 함숫값은 $9-n$
따라서, $x < 0$ 영역에서 $y = t$와 2개의 교점을 갖기 위한 $t$의 범위는 다음과 같습니다.
$$0 < t < \min(n, 9-n)$$
2단계: $x \ge 0$ 영역에서 $f(x)$의 그래프 분석하기
이번에는 $x \ge 0$일 때의 함수 $f(x) = |\log_2(x+4) - n|$을 살펴봅시다. 절댓값을 씌우기 전의 함수 $y = \log_2(x+4) - n$의 특징은 다음과 같습니다.
- $x = 0$일 때의 값은 $\log_2 4 - n = 2 - n$입니다.
- $x \to \infty$일 때, $y \to \infty$로 계속 증가합니다.
이 영역($x \ge 0$)에서도 가로선 $y = t$와 2개의 교점을 가지려면, 시작점인 $x=0$에서의 함숫값이 $0$보다 작아서 그래프가 $x$축 아래에서 시작해 위로 올라가는 형태여야 합니다. 그래야 절댓값을 씌웠을 때 꺾여 올라가면서 V자 모양이 생깁니다.
즉, $2 - n < 0$이어야 하므로 다음 조건을 만족해야 합니다.
$$n > 2$$
이 조건($n > 2$)을 만족할 때, 절댓값을 씌운 그래프의 $x=0$에서의 시작점은 $|2-n| = n-2$가 됩니다.
따라서, $x \ge 0$ 영역에서 $y = t$와 2개의 교점을 갖기 위한 $t$의 범위는 다음과 같습니다.
$$0 < t < n-2$$
3단계: 교점의 개수의 최댓값이 4가 되도록 하는 $n$ 구하기
전체 함수 $f(x)$에 대해 $g(t) = 4$가 되려면, 어떤 양수 $t$에 대하여 $x < 0$ 영역에서 2개의 교점, $x \ge 0$ 영역에서 2개의 교점이 동시에 존재해야 합니다.
즉, 1단계와 2단계에서 구한 $t$의 범위가 동시에 만족하는 공통 범위(교집합)가 존재해야 합니다.
- $x < 0$에서 2개 교점 조건: $0 < t < \min(n, 9-n)$
- $x \ge 0$에서 2개 교점 조건: $0 < t < n-2$
이 두 범위를 동시에 만족하는 $t$가 존재하려면, 각 범위의 우측 경계값이 모두 $0$보다 커야 합니다.
- $\min(n, 9-n) > 0 \implies n > 0$ 이고 $9-n > 0 \implies n < 9$
- $n-2 > 0 \implies n > 2$
이 두 조건을 동시에 만족하는 자연수 $n$의 범위는 다음과 같습니다.
$$2 < n < 9$$
따라서 가능한 자연수 $n$은 $3, 4, 5, 6, 7, 8$입니다.
4단계: 모든 자연수 $n$의 합 계산하기
구한 자연수 $n$의 값들을 모두 더합니다.
$$\text{합} = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33$$
답
$$33$$
확인해보기
만약 자연수 $n = 5$라고 할 때, 실근의 개수가 4개가 되도록 하는(즉, $g(t) = 4$를 만족하는) 실수 $t$의 값의 범위는 무엇일지 직접 구해보세요. (위의 단계별 풀이에 $n=5$를 대입해 보면 쉽게 찾을 수 있습니다!)