어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하여 $f(4)$의 값을 찾는 문제입니다. 문제에서 주어진 조건들을 통해 삼차함수의 계수들을 하나씩 찾아내야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 평균값 정리의 형태 이해하기: 조건 (가)의 식을 변형하면 미분계수와 평균변화율의 관계를 보여주는 평균값 정리와 닮아 있음을 알 수 있습니다.
- 이차함수의 대칭성: 삼차함수를 미분한 도함수 $f'(x)$는 아래로 볼록한 이차함수이므로, 대칭축을 기준으로 대칭인 성질을 가집니다.
- 함수의 연속성과 최솟값: 연속함수 $g(x)$의 최솟값이 $\frac{5}{2}$라는 조건을 통해 도함수의 대칭축과 $g(x)$의 관계를 분석합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가) 식 변형하고 도함수 $f'(x)$ 표현하기
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$를 다음과 같이 놓을 수 있습니다.
$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \quad (a, b, c \text{는 실수})$$
이 함수를 미분한 도함수 $f'(x)$는 다음과 같은 이차함수입니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$
이제 조건 (가)의 식을 보겠습니다.
$$f(x) = f(1) + (x-1)f'(g(x))$$
$x \neq 1$일 때, 양변을 $x-1$로 나누면 다음과 같이 평균변화율의 형태로 쓸 수 있습니다.
$$\frac{f(x) - f(1)}{x-1} = f'(g(x))$$
좌변의 식에 $f(x)$를 대입하여 정리해 봅시다.
따라서 모든 $x \neq 1$에 대하여 다음이 성립합니다.
$$f'(g(x)) = x^2 + (a+1)x + a + b + 1 \quad \cdots \text{(식 1)}$$
2단계: 도함수의 대칭성을 이용하여 $g(x)$ 분석하기
도함수 $f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$는 대칭축이 $x = -\frac{a}{3}$인 아래로 볼록한 이차함수입니다. 대칭축을 $x_0 = -\frac{a}{3}$라 하면, $f'(x)$는 다음과 같이 표준형으로 나타낼 수 있습니다.
$$f'(x) = 3(x - x_0)^2 + k \quad \left(k = b - \frac{a^2}{3}\right)$$
이를 (식 1)의 좌변에 대입하면 다음과 같습니다.
$$3(g(x) - x_0)^2 + k = x^2 + (a+1)x + a + b + 1$$
양변에서 $b$를 소거하기 위해 $k = b - 3x_0^2$을 대입하여 정리하면,
$$3(g(x) - x_0)^2 + b - 3x_0^2 = x^2 + (a+1)x + a + b + 1$$
$$3(g(x) - x_0)^2 = x^2 + (a+1)x + a + 1 + 3x_0^2 \quad \cdots \text{(식 2)}$$
여기서 조건 (나)를 적용해 봅시다. **함수 $g(x)$의 최솟값은 $\frac{5}{2}$**입니다.
$g(x)$가 실수 전체에서 연속이면서 최솟값이 $\frac{5}{2}$이므로, $g(x) \ge \frac{5}{2}$입니다.
만약 대칭축 $x_0$가 최솟값 $\frac{5}{2}$보다 작다면 ($x_0 < \frac{5}{2}$), 모든 실수 $x$에 대해 $g(x) > x_0$가 성립합니다.
이 경우, (식 2)의 좌변인 $3(g(x) - x_0)^2$은 $g(x)$가 최솟값 $\frac{5}{2}$를 가질 때 최소가 됩니다. 즉, 좌변의 최솟값은 다음과 같습니다.
$$\text{좌변의 최솟값} = 3\left(\frac{5}{2} - x_0\right)^2$$
우변은 $x$에 대한 이차함수 $x^2 + (a+1)x + (\text{상수})$이므로, 대칭축 $x = -\frac{a+1}{2}$에서 최솟값을 가집니다. 우변의 최솟값은 다음과 같습니다.
$$\text{우변의 최솟값} = -\frac{(a+1)^2}{4} + a + 1 + 3x_0^2$$
좌변과 우변이 항상 같아야 하므로, 두 식의 최솟값도 서로 같아야 합니다.
$$3\left(\frac{5}{2} - x_0\right)^2 = -\frac{(a+1)^2}{4} + a + 1 + 3x_0^2$$
이 식을 전개하여 정리해 봅시다. 좌변은 $3\left(\frac{25}{4} - 5x_0 + x_0^2\right) = \frac{75}{4} - 15x_0 + 3x_0^2$이므로,
$$\frac{75}{4} - 15x_0 + 3x_0^2 = -\frac{(a+1)^2}{4} + a + 1 + 3x_0^2$$
양변에서 $3x_0^2$을 지우고, $x_0 = -\frac{a}{3}$를 대입하면 $-15x_0 = 5a$가 됩니다.
$$\frac{75}{4} + 5a = -\frac{a^2 + 2a + 1}{4} + a + 1$$
양변에 $4$를 곱해 정리합니다.
$$75 + 20a = -(a^2 + 2a + 1) + 4a + 4$$
$$75 + 20a = -a^2 + 2a + 3$$
$$a^2 + 18a + 72 = 0$$
$$(a+6)(a+12) = 0$$
따라서 $a = -6$ 또는 $a = -12$입니다.
3단계: $a$의 값 결정하기
구한 두 가지 후보에 대해 모순이 없는지 확인해 봅시다.
- **경우 1: $a = -12$일 때**
대칭축 $x_0 = -\frac{a}{3} = 4$가 됩니다.
하지만 우리는 $x_0 < \frac{5}{2}$라는 가정 하에 식을 풀었습니다. $x_0 = 4$는 $4 < \frac{5}{2}$가 아니므로 모순이 발생합니다. (실제로 $x_0 = 4$이면 $g(x)$가 연속이면서 최솟값 $\frac{5}{2}$를 가질 수 없습니다.)
- **경우 2: $a = -6$일 때**
대칭축 $x_0 = -\frac{a}{3} = 2$가 됩니다.
이는 $x_0 = 2 < \frac{5}{2}$를 만족하므로 모순이 없습니다!
따라서 **$a = -6$**입니다.
4단계: $g(1)$의 값 구하기
$a = -6$, $x_0 = 2$를 (식 2)에 대입하여 $g(x)$의 관계식을 완성해 봅시다.
$$3(g(x) - 2)^2 = x^2 - 5x - 5 + 1 + 3(2)^2$$
$$3(g(x) - 2)^2 = x^2 - 5x + 8$$
$$(g(x) - 2)^2 = \frac{x^2 - 5x + 8}{3}$$
$g(x) \ge \frac{5}{2} > 2$이므로 $g(x) - 2 > 0$입니다. 따라서 양변에 루트를 씌우면 다음과 같습니다.
$$g(x) = 2 + \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 8}{3}}$$
이제 조건 (다)를 사용하기 위해 $g(1)$의 값을 구합니다. $x = 1$을 대입하면,
$$g(1) = 2 + \sqrt{\frac{1 - 5 + 8}{3}} = 2 + \sqrt{\frac{4}{3}}$$
앗, 계산을 다시 확인해 봅시다.
(식 2)의 우변은 $x^2 + (a+1)x + a + 1 + 3x_0^2$ 이었습니다.
$a = -6$, $x_0 = 2$를 대입하면:
$$x^2 - 5x - 6 + 1 + 3(4) = x^2 - 5x + 7$$
(이전 계산에서 $-5$라고 잘못 썼네요. $-6+1 = -5$가 맞지만 뒤의 $3x_0^2 = 12$를 더하면 $-5+12 = 7$이 됩니다.)
다시 올바르게 식을 쓰면:
$$(g(x) - 2)^2 = \frac{x^2 - 5x + 7}{3}$$
$$g(x) = 2 + \sqrt{\frac{x^2 - 5x + 7}{3}}$$
여기에 $x = 1$을 대입하면:
$$g(1) = 2 + \sqrt{\frac{1 - 5 + 7}{3}} = 2 + \sqrt{\frac{3}{3}} = 2 + 1 = 3$$
따라서 **$g(1) = 3$**입니다.
5단계: 조건 (다)를 이용하여 $f(x)$ 완성하고 $f(4)$ 구하기
조건 (다)에서 $f(0) = -3$이므로, $f(x) = x^3 - 6x^2 + bx + c$에서 상수항 $c = -3$입니다.
$$f(x) = x^3 - 6x^2 + bx - 3$$
또한 조건 (다)에서 $f(g(1)) = 6$인데, $g(1) = 3$이므로 **$f(3) = 6$**입니다.
$f(3)$을 계산해 봅시다.
$$f(3) = 3^3 - 6(3^2) + 3b - 3 = 6$$
$$27 - 54 + 3b - 3 = 6$$
$$-30 + 3b = 6$$
$$3b = 36 \implies b = 12$$
따라서 구하고자 하는 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 3$$
최종적으로 $f(4)$의 값을 구합니다.
답
$$13$$
확인해보기
풀이 과정의 3단계에서 $a = -12$인 경우, 대칭축이 $x_0 = 4$가 됩니다. 이때 $g(x)$의 최솟값이 $\frac{5}{2}$가 될 수 없는 이유를 함수의 연속성과 사잇값 정리(또는 그래프의 개형)를 이용하여 스스로 설명해 보세요.