어떤 문제인가
이 문제는 삼차함수 $f(x)$의 식을 구하여 $f(4)$의 값을 찾는 문제입니다. 문제에서 주어진 조건들을 통해 삼차함수의 계수들을 하나씩 찾아내야 합니다.
이 문제를 풀기 위해 사용할 핵심 개념은 다음과 같습니다:
- 평균값 정리의 형태 이해하기: 조건 (가)의 식을 변형하면 미분계수와 평균변화율의 관계를 보여주는 평균값 정리와 닮아 있음을 알 수 있습니다.
- 이차함수의 대칭성: 삼차함수를 미분한 도함수 $f'(x)$는 아래로 볼록한 이차함수이므로, 대칭축을 기준으로 대칭인 성질을 가집니다.
- 함수의 연속성과 최솟값: 연속함수 $g(x)$의 최솟값이 $\frac{5}{2}$라는 조건을 통해 도함수의 대칭축과 $g(x)$의 관계를 분석합니다.
단계별 풀이
1단계: 조건 (가) 식 변형하고 도함수 $f'(x)$ 표현하기
최고차항의 계수가 $1$인 삼차함수 $f(x)$를 다음과 같이 놓을 수 있습니다.
$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \quad (a, b, c \text{는 실수})$$
이 함수를 미분한 도함수 $f'(x)$는 다음과 같은 이차함수입니다.
$$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$
이제 조건 (가)의 식을 보겠습니다.
$$f(x) = f(1) + (x-1)f'(g(x))$$
$x \neq 1$일 때, 양변을 $x-1$로 나누면 다음과 같이 평균변화율의 형태로 쓸 수 있습니다.
$$\frac{f(x) - f(1)}{x-1} = f'(g(x))$$
좌변의 식에 $f(x)$를 대입하여 정리해 봅시다.
따라서 모든 $x \neq 1$에 대하여 다음이 성립합니다.
$$f'(g(x)) = x^2 + (a+1)x + a + b + 1 \quad \cdots \text{(식 1)}$$
2단계: 연속성을 이용하여 $g(x)$의 식 분석하기
$x\ne1$에서 얻은 (식 1)은 양변이 연속이므로 $x=1$에서도 성립합니다. $f'(g(x))=3g(x)^2+2ag(x)+b$를 대입하고 완전제곱식으로 정리해 봅시다.
먼저 $a=-3$이라면
$$g(x)=1\pm\frac{|x-1|}{\sqrt3}$$
입니다. 양의 가지를 양쪽에서 선택하면 최솟값이 $1$이고, 어느 한쪽에서라도 음의 가지를 선택하면 그 방향으로 한없이 작아집니다. 따라서 최솟값이 $\frac52$라는 조건을 만족할 수 없습니다.
$a\ne-3$일 때는 우변이 항상 양수이므로, 연속인 함수 $g(x)+\frac a3$은 부호를 바꿀 수 없습니다. 음의 가지는 $x$가 커질 때 한없이 작아져 최솟값을 갖지 못하므로, 반드시 양의 가지입니다.
$$g(x)=-\frac a3+\frac1{\sqrt3}\sqrt{\left(x+\frac{a+1}{2}\right)^2+\frac{(a+3)^2}{12}}$$
따라서 $x=-\frac{a+1}{2}$에서 최솟값을 가지며,
$$\min g(x)=-\frac a3+\frac{|a+3|}{6}=\frac52$$
입니다.
3단계: $a$의 값 결정하기
절댓값을 기준으로 두 경우를 나누어 봅시다.
- $a>-3$이면 $\frac{3-a}{6}=\frac52$에서 $a=-12$가 나오지만, 범위에 맞지 않습니다.
- $a<-3$이면 $\frac{-3a-3}{6}=\frac52$에서 $a=-6$을 얻습니다. 이는 범위에 맞습니다.
따라서 $a=-6$이고, 도함수의 대칭축은 $x_0=-\frac a3=2$입니다.
4단계: $g(1)$의 값 구하기
$a=-6$, $x_0=2$를 (식 2)에 대입하면 다음과 같습니다.
$$3(g(x)-2)^2=x^2-5x-6+1+3(2)^2=x^2-5x+7$$
따라서
$$(g(x)-2)^2=\frac{x^2-5x+7}{3}$$
입니다. $g(x)\ge\frac52>2$이므로 양의 제곱근을 택합니다.
$$g(x)=2+\sqrt{\frac{x^2-5x+7}{3}}$$
여기에 $x = 1$을 대입하면:
$$g(1) = 2 + \sqrt{\frac{1 - 5 + 7}{3}} = 2 + \sqrt{\frac{3}{3}} = 2 + 1 = 3$$
따라서 $g(1) = 3$입니다.
5단계: 조건 (다)를 이용하여 $f(x)$ 완성하고 $f(4)$ 구하기
조건 (다)에서 $f(0) = -3$이므로, $f(x) = x^3 - 6x^2 + bx + c$에서 상수항 $c = -3$입니다.
$$f(x) = x^3 - 6x^2 + bx - 3$$
또한 조건 (다)에서 $f(g(1)) = 6$인데, $g(1) = 3$이므로 $f(3) = 6$입니다.
$f(3)$을 계산해 봅시다.
$$f(3) = 3^3 - 6(3^2) + 3b - 3 = 6$$
$$27 - 54 + 3b - 3 = 6$$
$$-30 + 3b = 6$$
$$3b = 36 \implies b = 12$$
따라서 구하고자 하는 삼차함수 $f(x)$는 다음과 같습니다.
$$f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 3$$
최종적으로 $f(4)$의 값을 구합니다.
답
$$13$$
확인해보기
풀이 과정의 3단계에서 $a = -12$인 경우, 대칭축이 $x_0 = 4$가 됩니다. 이때 $g(x)$의 최솟값이 $\frac{5}{2}$가 될 수 없는 이유를 함수의 연속성과 사잇값 정리(또는 그래프의 개형)를 이용하여 스스로 설명해 보세요.